[论文解读] BiHom-Lie colour algebras structures

K. Abdaoui, Abdelkader Ben Hassine+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 12

一句话总结

本文引入并研究了BiHom-Lie色彩代数，这是通过两个可交换扭映射推广的Hom-Lie色彩代数。它建立了上同调理论，定义了表示，并证明了α⁻¹β²-广义导子诱导出BiHom-Jordan色彩代数结构，将经典结果推广到具有通过斜对称双特征标实现的分次对称性的Hom-设定中。

ABSTRACT

BiHom-Lie Colour algebra is a generalized Hom-Lie Colour algebra endowed with two commuting multiplicative linear maps. The main purpose of this paper is to define representations and a cohomology of BiHom-Lie colour algebras and to study some key constructions and properties. Moreover, we discuss $α^{k}β^l$-generalized derivations, $α^{k}β^l$-quasi-derivations and $α^{k}β^l$-quasi-centroid. We provide some properties and their relationships with BiHom-Jordan colour algebra.

研究动机与目标

• 为BiHom-Lie色彩代数定义并研究表示和上同调，将经典李代数理论推广至BiHom和分次设定。
• 在BiHom-Lie色彩代数的背景下，研究αᵏβˡ-广义导子、拟导子及其拟中心化子。
• 建立α⁻¹β²-导子与BiHom-Jordan色彩代数结构之间的联系。
• 将李可适代数的概念推广至BiHom-Lie色彩设定，并利用S₃的子群G的G-BiHom-结合色彩代数对这类代数进行分类。
• 通过σ-扭化现有代数构造新的BiHom-Lie色彩代数，证明在分级群Γ上的乘子σ作用下，代数结构得以保持。

提出的方法

• 将BiHom-Lie色彩代数定义为带有斜对称双特征标ε: Γ×Γ → K*的Γ-分次代数，由两个可交换的代数同态α和β扭变。
• 通过涉及具有ε-扭对称性的多线性映射及α、β作用的复形，为BiHom-Lie色彩代数定义上同调理论。
• 通过在Γ上的乘子σ作用下修改括号和结构映射，构造BiHom-Lie色彩代数的σ-扭化，并证明结果仍为BiHom-Lie色彩代数。
• 在拟导子空间QC(𝒜)上引入运算D₁•D₂ = D₁∘D₂ − ε(d₁,d₂)D₂∘D₁，表明该运算使QC(𝒜)成为BiHom-Jordan色彩代数结构。
• 利用S₃的子群G的G-BiHom-结合色彩代数对BiHom-Lie色彩可适代数进行分类，推广经典李可适框架。
• 应用αᵏβˡ-广义导子的概念，并证明α⁻¹β²-导子在•-乘积下封闭，从而导出BiHom-Jordan色彩代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为BiHom-Lie色彩代数构造上同调理论，它与表示之间有何关系？
• RQ2 αᵏβˡ-广义导子的结构性质及其与BiHom-Lie色彩代数中拟中心化子的关系是什么？
• RQ3 在何种条件下，BiHom-Lie色彩代数的σ-扭化仍为BiHom-Lie色彩代数？
• RQ4 α⁻¹β²-导子如何生成BiHom-Jordan色彩代数结构？
• RQ5 能否利用S₃的子群G的G-BiHom-结合色彩代数对BiHom-Lie色彩可适代数进行完全分类？

主要发现

• 只要σ是分级群Γ上的乘子，任何BiHom-Lie色彩代数的σ-扭化仍为BiHom-Lie色彩代数。
• 为BiHom-Lie色彩代数构造了上同调复形，使其能够在该推广设定下研究表示与形变。
• 可乘BiHom-Lie色彩代数𝒜的拟导子空间QC(𝒜)在运算D₁•D₂ = D₁∘D₂ − ε(d₁,d₂)D₂∘D₁下封闭，使其成为一个BiHom-Jordan色彩代数。
• BiHom-Lie色彩代数的α⁻¹β²-广义导子自然诱导出该类导子空间上的BiHom-Jordan色彩代数结构。
• BiHom-Lie色彩可适代数通过S₃的子群G的G-BiHom-结合色彩代数得到完全分类。
• 所发展的上同调理论推广了经典李色彩代数的上同调，并将Hom-代数的结果扩展至BiHom和分次设定。