[论文解读] Bilateral Boundary Control Design for a Cascaded Diffusion-ODE System Coupled at an Arbitrary Interior Point

Stephen Chen, Rafael Vázquez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对在任意内部点耦合的级联扩散-ODE系统，通过折叠变换与反推法设计双边边界控制。通过Volterra变换将系统转换为目标系统，实现指数稳定性，作者通过李雅普诺夫分析和有界核的存在性，建立了确保$L^2 \times \mathbb{R}^n$稳定性的镇定边界控制器。

ABSTRACT

We present a methodology for designing bilateral boundary controllers for a class of systems consisting of a coupled diffusion equation with an unstable ODE at an arbitrary interior point. A folding transformation is applied about the coupling point, transforming the system into an ODE with an input channel consisting of two coupled diffusive actuation paths. A target system with an exponentially stable trivial solution in the sense of L^2 X R^n is proposed, and the stability property is shown via the Lyapunov method. The stabilizing control laws are formulated via tiered Volterra transformations of the second kind, establishing an equivalence relation between the stable target system and the original plant under boundary feedback. Stability properties of the plant under feedback is inferred from the equivalence relation. The well-posedness of the backstepping transformations involved are studied, and the existence of bounded Volterra kernels is shown, constituting a sufficient condition for the invertibility of the Volterra transformations.

研究动机与目标

• 解决在任意内部点耦合的抛物型PDE与不稳定ODE的镇定问题，该问题在单边控制下尚未完全解决。
• 将折叠框架扩展至双边边界控制，实现两点作动，以增强可控性与鲁棒性。
• 利用二阶Volterra变换的无限维反推法设计镇定反馈律。
• 通过不动点论证与核有界性，证明Volterra核的存在性与可逆性。
• 通过李雅普诺夫方法，建立闭环系统在$L^2 \times \mathbb{R}^n$范数下的指数稳定性。

提出的方法

• 关于内部耦合点应用折叠变换，将原系统转换为具有两条扩散作动路径的级联PDE-ODE配置。
• 基于李雅普诺夫分析，构建一个具有平凡解且在$L^2 \times \mathbb{R}^n$范数下指数稳定的靶系统。
• 通过分层二阶Volterra变换设计镇定控制律，在边界反馈下建立原系统与稳定靶系统之间的等价性。
• 通过Schauder不动点定理与Weierstrass M判别法，证明反推变换的适定性，即Volterra核的存在性与有界性。
• 通过递归界与核范数估计，建立核序列的一致收敛性，确保变换的可逆性。
• 通过与光滑矩阵指数的卷积，验证ODE分量解的正则性，确保变换核具有$C^\infty$正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为在内部点耦合的PDE-ODE系统设计双边边界控制，其中传统单边控制不足？
• RQ2 折叠变换技术能否扩展至1-D级联扩散-ODE系统中的双边控制？
• RQ3 在该类系统的反推设计中，何种条件可确保Volterra核的存在性与可逆性？
• RQ4 如何通过李雅普诺夫方法证明闭环系统在$L^2 \times \mathbb{R}^n$范数下的指数稳定性？
• RQ5 ODE的耦合点在塑造变换后系统结构与可控性方面起何种作用？

主要发现

• 所提出的双边控制设计通过靶系统基于李雅普诺夫的分析，实现了平凡解在$L^2 \times \mathbb{R}^n$范数下的指数稳定性。
• 利用Schauder不动点定理证明了有界Volterra核的存在性，通过Weierstrass M判别法建立了均匀收敛性。
• 变换的核序列在$C(\mathcal{T})$中一致收敛，确保了反推变换的可逆性。
• ODE分量的解被证明为$C^\infty([0,1])$，这是由于与光滑矩阵指数的卷积作用，后者起到光滑化器的作用。
• 该变换将原不稳定系统映射至稳定靶系统，且通过等价关系可推断出原系统在反馈下的稳定性。
• 该方法为在内部点耦合两个抛物型PDE的“夹心型”系统提供了一套系统化的镇定框架。