[论文解读] Bilinear systems with two supports: Koszul resultant matrices, eigenvalues, and eigenvectors

Matías R. Bender, Jean‐Charles Faugère+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出了针对具有两个不同支撑的混合多重齐次双线性系统的首个行列式公式，利用由 Weyman 复形导出的 Koszul 结果式矩阵。该研究将特征值-特征向量准则推广至 Koszul 型矩阵，使得可通过线性代数方法求解 0 维系统，实验结果表明其矩阵规模显著小于 Gröbner 基方法。

ABSTRACT

A fundamental problem in computational algebraic geometry is the computation of the resultant. A central question is when and how to compute it as the determinant of a matrix. whose elements are the coefficients of the input polynomials up-to sign. This problem is well understood for unmixed multihomogeneous systems, that is for systems consisting of multihomogeneous polynomials with the * 1 same support. However, little is known for mixed systems, that is for systems consisting of polynomials with different supports. We consider the computation of the multihomogeneous resultant of bilinear systems involving two different supports. We present a constructive approach that expresses the resultant as the exact determinant of a Koszul resultant matrix, that is a matrix constructed from maps in the Koszul complex. We exploit the resultant matrix to propose an algorithm to solve such systems. In the process we extend the classical eigenvalues and eigenvectors criterion to a more general setting. Our extension of the eigenvalues criterion applies to a general class of matrices, including the Sylvester-type and the Koszul-type ones.

研究动机与目标

• 开发针对具有两个不同支撑的混合多重齐次双线性系统的行列式公式，此前此类公式尚不存在。
• 将经典的特征值-特征向量准则推广至 Koszul 型矩阵，从而通过线性代数方法求解系统。
• 提供一种构造性方法，将多重齐次结果式精确表示为 Koszul 结果式矩阵的行列式。
• 设计一种算法，通过结果式矩阵的特征值和特征向量求解 0 维平方多项式系统。
• 比较 Koszul 结果式矩阵与 Gröbner 基方法中生成的矩阵规模，展示计算优势。

提出的方法

• 利用来自 Koszul 复形的映射构造 Koszul 结果式矩阵，该矩阵通过混合系统的 Weyman 复形导出。
• 提出一种广义的特征值准则，适用于 Sylvester 型和 Koszul 型矩阵，基于矩阵分块及主子块可逆性。
• 引入一个三线性多项式 $ f_0 $ 使系统超定，从而可将结果式作为行列式使用。
• 通过计算 Koszul 结果式矩阵的特征值和特征向量恢复解，再通过投影和求解单变量系统重构根。
• 应用矩阵分块 $ M = \begin{bmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} \\ M_{2,1} & M_{2,2} \end{bmatrix} $，其中 $ M_{1,1} $ 可逆，以提取特征向量并恢复坐标。
• 通过与 FGb 的 Gröbner 基计算结果对比，实验验证方法，显示矩阵规模持续减小。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有两个不同支撑的混合多重齐次双线性系统构造出行列式公式？
• RQ2 如何将经典的特征值-特征向量准则推广至 Koszul 型矩阵？
• RQ3 Koszul 结果式矩阵的结构与 0 维多项式系统求解之间存在何种关系？
• RQ4 Koszul 结果式矩阵的规模与 Gröbner 基方法中生成的矩阵相比如何？
• RQ5 能否将结果式精确计算为由 Weyman 复形构造的 Koszul 型矩阵的行列式？

主要发现

• 本文首次提出基于由 Weyman 复形导出的 Koszul 结果式矩阵的混合多重齐次双线性系统行列式公式，适用于两个支撑。
• 特征值-特征向量准则被推广至包含 Koszul 型矩阵在内的更广矩阵类，使得可通过线性代数方法求解 0 维系统。
• 当 $ n = 12 $ 时，Koszul 结果式矩阵的规模最多比 FGb 中 Gröbner 基计算的最大矩阵小 5.1 倍。
• 在多个测试案例中，FGb 矩阵规模与 Koszul 矩阵规模之比低于 2，部分案例中规模减小达 2.7 倍。
• 该方法通过计算特征值和特征向量成功恢复解，再经投影和求解单变量系统重构坐标。
• 实验结果表明，Koszul 结果式矩阵显著小于 Gröbner 基方法生成的矩阵，暗示其在实际计算中可能实现更快的线性代数运算。