[论文解读] Towards Mixed Gr{ö}bner Basis Algorithms: the Multihomogeneous and Sparse Case

Matías R. Bender, Jean‐Charles Faugère+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文提出了两种新颖的算法，用于在混合稀疏和多重齐次多项式系统中计算格罗布纳基，利用多面体代数和类似 F5 的矩阵方法，在正则性假设下避免归约到零。主要贡献在于实现了具有显式次数界和高效标准型计算的稀疏格罗布纳基计算，从而在不进行冗余归约的情况下加快了零维系统的求解速度。

ABSTRACT

One of the biggest open problems in computational algebra is the design of efficient algorithms for Gr{ö}bner basis computations that take into account the sparsity of the input polynomials. We can perform such computations in the case of unmixed polynomial systems, that is systems with polynomials having the same support, using the approach of Faug{è}re, Spaenlehauer, and Svartz [ISSAC'14]. We present two algorithms for sparse Gr{ö}bner bases computations for mixed systems. The first one computes with mixed sparse systems and exploits the supports of the polynomials. Under regularity assumptions, it performs no reductions to zero. For mixed, square, and 0-dimensional multihomogeneous polynomial systems, we present a dedicated, and potentially more efficient, algorithm that exploits different algebraic properties that performs no reduction to zero. We give an explicit bound for the maximal degree appearing in the computations.

研究动机与目标

• 将稀疏格罗布纳基计算从无混合系统扩展到混合多项式系统，其中多项式具有不同的支撑集。
• 设计一种算法，利用多项式系统的稀疏性和多重齐次结构，避免不必要的归约到零。
• 为计算中出现的最大次数提供显式界，改进复杂度估计。
• 开发一种基于矩阵的类似 F5 的算法（$\texttt{M}^{2}$），专用于稀疏和多重齐次系统。
• 建立在去齐次化后所计算的基构成商环的单项式基的条件。

提出的方法

• 引入多面体代数框架，其中变量对应于输入多项式支撑集中的单项式，从而实现稀疏格罗布纳基计算。
• 使用修改后的除法算法，在基于支撑集调整的单项序下计算多面体代数上的标准型。
• 应用类似 F5 的矩阵算法（$\texttt{M}^{2}$），结合稀疏 F5 准则，避免冗余的归约到零。
• 采用齐次化与去齐次化，将多面体代数中的稀疏基与原始理想关联起来。
• 利用分块矩阵的舒尔补计算商环中多项式乘法映射。
• 建立在系统在无穷远处无解的条件下，去齐次化后的单项式构成商环的单项式基的条件，依赖于从系统导出的关键矩阵的可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过利用支撑集结构，使混合稀疏多项式系统的格罗布纳基计算更加高效？
• RQ2 在混合系统的稀疏格罗布纳基算法中，归约到零在何种条件下可以避免？
• RQ3 在多重齐次系统的稀疏格罗布纳基计算中，中间多项式的最大次数是多少？
• RQ4 如何利用分块矩阵结构高效计算商环中的乘法映射？
• RQ5 能否在不进行完整计算的情况下，从稀疏格罗布纳基中恢复商环的单项式基？

主要发现

• 在正则性假设下，所提出的算法在计算中无任何归约到零，显著降低了计算开销。
• 对于零维、方阵且多重齐次的系统，该算法通过利用多重分次结构和系统的代数性质，避免了归约到零。
• 通过使用多重分次卡斯特尔努奥沃-穆尔菲德正则性，推导出计算中最大次数的显式界。
• 若系统在无穷远处无解，则基中去齐次化后的单项式构成商环的单项式基。
• 算法中分块矩阵的舒尔补计算了商环中多项式相对于单项式基的乘法映射。
• 若系统在无穷远处无解，则矩阵 $M_{2,2}^{f_0}$ 可逆，从而确保了基和映射计算的正确性。