[论文解读] Bimodules over Hom-Jordan and Hom-alternative algebras

Sylvain Attan|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文引入了关于 Hom-Jordan 代数和 Hom-交替代数的双模，证明了经典 Jordan 代数和交替代数的双模可通过代数自同态扭曲为它们的 Hom-推广结构的双模。主要贡献在于证明：将 Hom-Jordan 代数与其双模的分裂零扩张构造，可得到另一个 Hom-Jordan 代数，从而将经典的模扩张推广至 Hom-代数框架。

ABSTRACT

In this paper, bimodules over Hom-Jordan algebras and the ones over Hom-alternative algebras are defined. It is shown that bimodules over Jordan and alternative algebras are twisted into bimodules over Hom-Jordan and Hom-alternative algebras via endomorphisms respectively. Some relations between bimodules over Hom-associative, Hom-Jordan and Hom-alternative algebras, are given.

研究动机与目标

• 定义并研究 Hom-交替代数和 Hom-Jordan 代数上的双模，将经典模理论扩展至 Hom-代数框架。
• 建立一种扭曲构造，通过自同态将经典交替代数和 Jordan 代数上的双模转化为其相应 Hom-推广结构上的双模。
• 证明：Hom-Jordan 代数与双模的分裂零扩张可生成一个新的 Hom-Jordan 代数，从而推广经典代数扩张。
• 阐明 Hom-结合代数、Hom-交替代数和 Hom-Jordan 代数上双模之间的结构性关系。

提出的方法

• 通过与扭曲映射 α 交换的扭曲作用，定义 Hom-交替代数和 Hom-Jordan 代数上的双模。
• 使用反交换积构造 x∗y = xy + yx，证明 Hom-交替代数的“正”代数是 Hom-Jordan 代数。
• 证明：若经典交替代数上的模与自同态 α 兼容，则其扭曲模结构在对应的 Hom-交替代数上定义了双模。
• 通过双线性性及模映射与 α 的相容性，验证扩展代数 A⊕V 中的结合子为零，从而确立 Hom-Jordan 恒等式。
• 构造分裂零扩张 μ̃(a+m,b+n) = ab + a·n + m·b 和 α̃(a+m) = α_A(a) + α_V(m)，证明其乘法性及在 Hom-Jordan 恒等式下的封闭性。
• 利用 α_V^n = Id_V 的事实，定义迭代扭曲作用 ρ̃_l^n 和 ρ̃_r^n，证明其使扭曲模在 Hom-代数 A_α_A 上赋予双模结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典 Jordan 代数和交替代数上的双模推广至 Hom-代数框架？
• RQ2 在何种条件下，经典代数的自同态 α 能诱导出对应 Hom-代数上的双模结构？
• RQ3 能否证明 Hom-Jordan 代数与双模的分裂零扩张满足 Hom-Jordan 恒等式？
• RQ4 在何种条件下，Hom-Jordan 代数上的左、右特殊模可成为双模？
• RQ5 Hom-结合代数上的双模与 Hom-Jordan 代数上的双模之间有何关系？

主要发现

• 若模映射与自同态 α 交换，则经典交替代数上的双模可通过自同态 α 诱导出对应 Hom-交替代数上的双模。
• Hom-Jordan 代数 A 与双模 V 的分裂零扩张在 A⊕V 上诱导出新的 Hom-Jordan 代数结构，其 Hom-Jordan 结合子为零，经验证成立。
• 若存在某个 n ∈ ℕ 使得 α_V^n = Id_V，则扭曲作用 ρ̃_l^n 和 ρ̃_r^n 在 Hom-模 V_α_V 上赋予其关于 Hom-Jordan 代数 A_α_A 的双模结构。
• 若 Hom-Jordan 代数上的左、右特殊模满足与扭曲映射 α 的额外相容性条件，则其可成为双模。
• 通过构造 x∗y = xy + yx 的“正”代数，任一 Hom-交替代数均可转化为 Hom-Jordan 代数，且原代数上的双模可提升为该正代数上的双模。
• 扩展代数 A⊕V 中的 Hom-结合子因 A 中分量结合子的消失及模相容性条件而为零，从而确认 Hom-Jordan 恒等式成立。