[论文解读] Bipartite graphs with a perfect matching and digraphs

Zan‐Bo Zhang, Dingjun Lou|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2010

Graph theory and applications参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了具有完美匹配的二分图与有向图（digraph）之间的对偶性，表明二分图中的k-可扩展性与对应有向图中的k-强连通性完全对应。其核心贡献在于揭示了非1-可扩展二分图中的初等分量与对应有向图中的强分量之间的结构等价性，通过邻接矩阵变换与连通性分析，统一了图论与矩阵论中的概念。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a corresponding between bipartite graphs with a perfect matching and digraphs, which implicates an equivalent relation between the extendibility of bipartite graphs and the strongly connectivity of digraphs. Such an equivalent relation explains the similar results on $k$-extendable bipartite graphs and $k$-strong digraphs. We also study the relation among $k$-extendable bipartite graphs, $k$-strong digraphs and combinatorial matrices. For bipartite graphs that are not 1-extendable and digraphs that are not strong, we prove that the elementary components and strong components are counterparts.

研究动机与目标

• 通过邻接矩阵变换，建立具有完美匹配的二分图与有向图之间的正式对应关系。
• 阐明二分图中k-可扩展性与关联有向图中k-强连通性之间的等价性。
• 通过将k-不可约矩阵与k-强有向图关联，统一组合矩阵论与图连通性理论。
• 刻画非1-可扩展二分图中初等分量的结构对偶物与其关联有向图表示中的强分量之间的关系。

提出的方法

• 从具有完美匹配M的二分图G出发，通过构造缩减邻接矩阵R(G)并减去单位矩阵，形成有向图D = D(G, M)。
• 从矩阵M出发，通过将边定向从一个划分到另一个划分，并收缩匹配边，定义关联有向图D(M)。
• 利用置换矩阵分析零一矩阵的可约性与可分解性，区分k-可约、k-不可约与k-不可约形式。
• 通过路径与分离集论证，证明矩阵A是k-不可约的充分必要条件是其关联有向图D(A)为k-强连通。
• 在G中的非固定边与D中的弧之间建立双射，保持连通性与匹配扩展等结构性质。
• 通过反证法与交错圈分析，证明在非1-可扩展二分图G中，初等分量恰好对应于其关联有向图D中的强分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 二分图的k-可扩展性如何与关联有向图的k-强连通性相关联？
• RQ2 非1-可扩展二分图中的初等分量与关联有向图中的强分量之间存在何种结构对应关系？
• RQ3 在何种矩阵理论条件下，零一矩阵可对应于k-强有向图？
• RQ4 是否能通过关联有向图的强分量分解，完全刻画二分图中固定边的结构？
• RQ5 k-不可约矩阵与k-不可约矩阵如何与关联有向图的连通性特征相关联？

主要发现

• 当且仅当其关联有向图D(G, M)为k-强连通时，二分图G才是k-可扩展的，建立了图可扩展性与有向图连通性之间的直接等价关系。
• 在非1-可扩展的二分图G中，初等分量恰好对应于其关联有向图D(G, M)中的强分量。
• 矩阵A的关联有向图D(A)为k-强连通，当且仅当A为k-不可约，将矩阵可分解性与有向图连通性联系起来。
• 当且仅当A + I为k-不可约时，矩阵A为k-不可约，表明在矩阵-有向图对应关系中，添加单位矩阵可保持k-连通性。
• G中的固定单边对应于D中在其强分量中孤立的顶点，而固定双边对应于D中的单顶点强分量。
• G中匹配的对称差与交错圈映射到D中的有向圈，证明了非最大强分量将导致匹配扩展中的矛盾。