[论文解读] Birational contraction of genus two tails in the moduli space of genus four curves I

Donghoon Hyeon, Yongnam Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文证明，对于亏格四的曲线，当 $\alpha \in (2/3, 7/10)$ 时，对数极小模型 $\bar{M}_4(\alpha)$ 同构于 h-半稳定曲线的模空间 $\bar{M}_4^{hs}$。该文构造了一个新的带有节点、普通尖点和切点的亏格二带点曲线的模空间 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$，并证明其同构于 Rulla 的翻转。关键结果是一个双有理态射 $\Xi: \bar{M}_4^{hs} \to \bar{M}_4(2/3)$，它将魏尔斯特拉斯亏格二尾曲线（即在某一分量上为魏尔斯特拉斯点的节点处相接的两个亏格二曲线）的闭链收缩。

ABSTRACT

We show that for $α\in (2/3, 7/10)$, the log canonical model $\bar M_4(α)$ of the pair $(\bar M_4, αδ)$ is isomorphic to the moduli space $\bar M_4^{hs}$ of h-semistable curves, and that there is a birational morphism $Ξ: \bar M_4^{hs} o \bar M_4(2/3)$ that contracts the locus of curves $C_1\cup_p C_2$ consisting of genus two curves meeting in a node $p$ such that $p$ is a Weierstrass point of $C_1$ or $C_2$. To obtain this morphism, we construct a compact moduli space $\bar M_{2,1}^{hs}$ of pointed genus two curves that have nodes, ordinary cusps and tacnodes as singularity, and prove that it is isomorphic to Rulla's flip constructed in his thesis.

研究动机与目标

• 建立当 $\alpha \in (2/3, 7/10)$ 时，对数极小模型 $\bar{M}_4(\alpha)$ 与 h-半稳定曲线模空间 $\bar{M}_4^{hs}$ 的同构关系。
• 通过几何不变性理论（GIT）构造一个带有节点、普通尖点和切点的亏格二带点曲线的新紧化模空间 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$。
• 证明 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ 同构于 Rulla 对 $\bar{M}_{2,1}^{ps}$ 的翻转，从而为翻转提供模解释。
• 展示存在一个双有理态射 $\Xi: \bar{M}_4^{hs} \to \bar{M}_4(2/3)$，它将亏格四曲线模空间中魏尔斯特拉斯亏格二尾曲线的闭链收缩。

提出的方法

• 利用几何不变性理论（GIT）构造带有指定奇点的亏格二带点曲线的模空间 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$。
• 通过分析一参数子群的作用和稳定性条件，证明 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ 同构于 Rulla 的翻转。
• 利用希尔伯特与 Chow 半稳定性的关系，将特殊纤维的半稳定性提升至平坦退化中的整体族。
• 应用 Mumford 的半稳定替换定理，将一族光滑曲线延拓为在离散赋值环上的半稳定族，确保特殊纤维与原曲线一致。
• 通过分析一参数子群在线性化上的作用权重来判断稳定性，特别关注 $\mu^{\mathcal{L}_m} < 0$ 的情形（即希尔伯特不稳定）。
• 证明：若一个 c-半稳定的带点曲线具有无限自同构，则其必为形式 $(C^\star, p)$，即命题 4.10 中唯一的此类曲线，从而排除其他退化可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\alpha \in (2/3, 7/10)$ 时，对数极小模型 $\bar{M}_4(\alpha)$ 是否同构于 h-半稳定曲线的模空间 $\bar{M}_4^{hs}$？
• RQ2 能否通过 GIT 构造一个带有节点、尖点和切点的亏格二带点曲线的新模空间 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$，且其是否同构于 Rulla 的翻转？
• RQ3 双有理态射 $\Xi: \bar{M}_4^{hs} \to \bar{M}_4(2/3)$ 是否恰好收缩魏尔斯特拉斯亏格二尾曲线的闭链？
• RQ4 在双 canonical 嵌入的背景下，希尔伯特稳定性与 canonical 线丛线性化的精确关系为何？
• RQ5 魏尔斯特拉斯亏格二尾曲线闭链的收缩能否在模空间中从几何与拓扑角度加以刻画？

主要发现

• 当 $\alpha \in (2/3, 7/10)$ 时，对数极小模型 $\bar{M}_4(\alpha)$ 同构于 h-半稳定曲线的模空间 $\bar{M}_4^{hs}$。
• 通过 GIT 构造的带有节点、普通尖点和切点的亏格二带点曲线模空间 $\bar{M}_{2,1}^{hs}$ 同构于 Rulla 对 $\bar{M}_{2,1}^{ps}$ 的翻转。
• 存在一个双有理态射 $\Xi: \bar{M}_4^{hs} \to \bar{M}_4(2/3)$，它将形如 $C_1 \cup_p C_2$ 的曲线闭链收缩，其中 $C_1$ 与 $C_2$ 是在节点 $p$ 处相接的两个亏格二曲线，且 $p$ 是 $C_1$ 或 $C_2$ 上的魏尔斯特拉斯点。
• 该构造依赖于如下事实：若一个 c-半稳定的带点曲线具有无限自同构，则其必为形式 $(C^\star, p)$，即命题 4.10 中唯一的此类曲线，从而排除其他退化形式。
• 证明中使用了半稳定替换定理，并指出希尔伯特不稳定意味着存在一个一参数子群，其权重为负，若曲线为 c-半稳定但非 $(C^\star, p)$ 形式，则会导致矛盾。
• 关键不等式 $\textup{deg}\,C_1 - 2\,\textup{deg}\,_{C_1}(\omega_C(p)) \leq w/2$ 被用于控制魏尔斯特拉斯点贡献的度数，并排除退化中某些特定构型。