[论文解读] Birkhoff normal form and splitting methods for semi linear Hamiltonian PDEs. Part I: Finite dimensional discretization

Erwan Faou, Benoît Grébert+1 more|ArXiv.org|Nov 27, 2008

Numerical methods for differential equations参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文通过有限维Birkhoff标准型方法，建立了半线性哈密顿PDE分裂格式的长时间稳定性。证明了在初始数据在$L^2$范数下较小、空间半离散参数$K$较大，且时间步长满足与$K$无关的非共振条件时，数值解的动作（振荡能量）和$L^2$范数可在任意长时间内近乎守恒。该结果在一般非共振条件下成立，并适用于非线性薛定谔方程和波动方程。

ABSTRACT

We consider {\em discretized} Hamiltonian PDEs associated with a Hamiltonian function that can be split into a linear unbounded operator and a regular nonlinear part. We consider splitting methods associated with this decomposition. Using a finite dimensional Birkhoff normal form result, we show the almost preservation of the {\em actions} of the numerical solution associated with the splitting method over arbitrary long time, provided the Sobolev norms of the initial data is small enough, and for asymptotically large level of space approximation. This result holds under {\em generic} non resonance conditions on the frequencies of the linear operator and on the step size. We apply this results to nonlinear Schrödinger equations as well as the nonlinear wave equation.}

研究动机与目标

• 分析有限空间半离散化下分裂格式应用于半线性哈密顿PDE的长时间行为。
• 在一般非共振条件下，建立动作和$L^2$范数在长时间内的近乎守恒性。
• 将经典有限维标准型技术扩展至空间半离散化$K$趋于渐近无穷的区域。
• 表明时间步长的非共振条件与$K$无关，从而保持原问题的无限维特性。
• 为哈密顿PDE几何积分中分裂格式的长时间稳定性提供严格的理论基础。

提出的方法

• 使用有限维Birkhoff标准型变换，将哈密顿量中非共振项消除至$r$阶。
• 应用时间依赖的生成函数$\chi(\lambda)$，将分裂格式的流共轭为标准型。
• 通过Neumann型级数递归求解标准型系数$Z_{\boldsymbol{j}}$和生成函数$\chi_{\boldsymbol{j}}$。
• 对频率$\Omega(\boldsymbol{j})$和时间步长$h$施加一个与空间半离散化参数$K$无关的非共振条件，确保变换有界。
• 通过Sobolev型范数估计控制余项$R(\lambda)$，表明其阶为$\|z\|^{r+1}$，且具有依赖于$K^\beta$的界。
• 利用巴拿赫空间中形式幂级数的抽象标准型理论框架，确保在小初始数据下变换的收敛性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当空间半离散化$K$较大但有限时，半线性哈密顿PDE的分裂格式能否在任意长时间内保持解的动作？
• RQ2 时间步长$h$和线性算子频率在何种条件下可使数值解在长时间内保持稳定？
• RQ3 在Birkhoff标准型的背景下，半离散化参数$K$的依赖性如何影响分裂格式的长时间行为？
• RQ4 是否可以使$h$的非共振条件独立于$K$，同时保持长时间稳定性？
• RQ5 在这些条件下，数值解的$L^2$范数在长时间积分过程中在多大程度上保持较小？

主要发现

• 与线性算子$H_0^{(K)}$的每个特征模态相关联的动作在时间$t \leq C_r \varepsilon^{-r}$内近乎守恒，其中$\varepsilon$为初始$L^2$-范数。
• 只要$K \leq \varepsilon^{-\sigma}$（其中$\sigma > 0$为依赖于$r$的常数），数值解的$L^2$-范数在相同时间区间内保持较小，且对$K$一致。
• 标准型展开中的余项$R(\lambda)$满足$\|X_{R(\lambda)}(z)\| \leq C_0 K^\beta \|z\|^r$，当$\|z\| \leq c_0 K^{-\beta}$时成立，其中$\beta > 1$依赖于$r$和空间维数$d$。
• 生成函数$\chi$和标准型$Z$在$\mathcal{T}_r$-范数下有界，其界为$C_0 K^\beta$，确保当$K \to \infty$时变换仍保持良好行为。
• 对$h$的非共振条件与$K$无关，使得可取$K \to \infty$的渐近极限，而不会改变长时间稳定性质。
• 该结果适用于环面上的非线性薛定谔方程和圆周上的非线性波动方程，且在一般非共振假设下成立。