[论文解读] Birman-Murakami-Wenzl algebras for general Coxeter groups

Zhi Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文为每个考克斯eter群构造了一个广义的伯尔曼-村上-温兹特定理（BMW）代数，该代数通过KZ型联络和劳伦斯-克兰默表示，作为广义布拉厄代数的形变。关键结果表明，对于单连通考克斯eter群，新构造的BMW代数同构于科恩、吉斯伯斯与沃尔兹的经典BMW代数，且该构造被证明通过平坦的、W-不变的联络，因袭了阿廷辫群表示。

ABSTRACT

We introduce a BMW type algebra for every Coxeter group. These new algebras are introduced as deformations of the Brauer type algebras introduced by the author, they have the corresponding Hecke algebras as quotients.

研究动机与目标

• 将伯尔曼-村上-温兹特定理代数理论从对称群和单连通类型推广至任意考克斯eter群。
• 为考克斯eter群与伪反射群此前作者所引入的广义布拉厄代数构造形变。
• 通过平坦的、W-不变的KZ型联络，建立新BMW代数与阿廷辫群表示之间的联系。
• 证明所得代数在通用参数下满足BMW代数的定义关系，且因袭辫群表示。
• 通过抛物约化与二面体群嵌入，将已知的单连通类型结果推广至任意考克斯eter群。

提出的方法

• 构造始于为考克斯eter群 $ W $ 构建广义布拉厄代数 $ Br_W( ilde{ ho}) $，其基于KZ型联络与广义劳伦斯-克兰默表示。
• 定义一个BMW型代数 $ B_W( ilde{ ho}, ilde{ ho}) $ 作为 $ Br_W( ilde{ ho}) $ 的形变，其生成元 $ X_i $ 与 $ E_i $ 满足特定的辫子型关系与幂等关系。
• 关键技术工具是 $ M_W \times V $ 上的平坦、$ W $-不变联络 $ \rho(\nabla_W) $，其由KZ联络 $ \nabla_W $ 导出，该联络诱导出阿廷辫群 $ A_W $ 的表示。
• 表示 $ T_\rho: A_W \to GL(V) $ 用于定义 $ X_i = T_\rho(\rho_i) $ 与 $ E_i $，后者通过 $ X_i $ 的有理函数表达，其中参数为 $ q_i = \text{exp}(\tau k_{s_i} \tau \tau \tau) $ 与 $ l_i = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau)/q_i $。
• 主定理的证明依赖于将一般情形约化至二面体子群 $ D_m $，利用同构 $ A_{W_L} \to A_{D_{m_{i,j}}} $ 与态射 $ \bar{\rho}_L $，从而可应用二面体情形的已知结果。
• 通过参数对应关系 $ q = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau) $，$ l = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau)/q $，确立了单连通类型下与经典BMW代数的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为每个考克斯eter群（而不仅限于单连通类型）定义一个BMW型代数？
• RQ2 如何将作者先前工作中为考克斯eter群与伪反射群所引入的广义布拉厄代数形变为BMW代数结构？
• RQ3 在反射超平面补集上的KZ联络是否诱导出阿廷辫群的表示，且该表示是否因袭新BMW代数？
• RQ4 当考克斯eter群为单连通类型时，所得BMW代数是否同构于经典BMW代数？
• RQ5 能否通过约化至二面体子群并利用其表示的已知结果，验证新BMW代数的关系？

主要发现

• 本文为每个考克斯eter群 $ W $ 构造了BMW型代数 $ B_W(\tilde{\rho}, \tilde{\rho}) $，将经典BMW代数推广至非单连通类型。
• 对于单连通考克斯eter群，所构造的BMW代数同构于科恩、吉斯伯斯与沃尔兹的经典BMW代数 $ B_\tau(q,l) $，其中参数关系为 $ q = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau) $，$ l = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau)/q $。
• 该构造依赖于 $ M_W \times V $ 上的平坦、$ W $-不变联络 $ \nabla_W $，其诱导出阿廷辫群 $ A_W $ 的表示 $ T_\rho $。
• 在通用参数下，表示 $ T_\rho $ 因袭新BMW代数，即生成元 $ X_i $ 与 $ E_i $ 满足 $ B_W(\tilde{\rho}, \tilde{\rho}) $ 的定义关系。
• 证明使用了抛物约化：对任意一对生成元 $ s_i, s_j $，通过约化至二面体群 $ D_{m_{i,j}} $，证明由 $ X_i, X_j, E_i, E_j $ 生成的子代数满足关系，因该情形的结果已知。
• 该代数被证明是可胞状的且在有限类型下为半单的，将此前关于布拉厄代数与BMW代数的结果推广至任意考克斯eter群。