[论文解读] Bit complexity for multi-homogeneous polynomial system solving Application to polynomial minimization

Mohab Safey El Din, Éric Schost|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 54被引用 25

一句话总结

本文提出了一种针对有理数域上多重齐次多项式组的概率算法，其比特复杂度在解的数量上为二次方，在输入高度上为线性，前提是满足通用性假设。该方法通过利用多重齐次Bézout界和零维参数化实现，进而将结果应用于拉格朗日乘子法的多项式最小化问题，为优化问题提供了紧致的比特复杂度界。

ABSTRACT

Multi-homogeneous polynomial systems arise in many applications. We provide bit complexity estimates for solving them which, up to a few extra other factors, are quadratic in the number of solutions and linear in the height of the input system under some genericity assumptions. The assumptions essentially imply that the Jacobian matrix of the system under study has maximal rank at the solution set and that this solution set if finite. The algorithm is probabilistic and a probability analysis is provided. Next, we apply these results to the problem of optimizing a linear map on the real trace of an algebraic set. Under some genericity assumptions, we provide bit complexity estimates for solving this polynomial minimization problem.

研究动机与目标

• 开发一种针对有理数域上多重齐次多项式组的比特复杂度优化算法。
• 建立紧致的比特复杂度界，其在解的数量上为二次方，在输入高度上为线性。
• 将该算法应用于使用拉格朗日乘子法的约束多项式最小化问题。
• 确保结果在通用性假设下成立，包括解处雅可比行列式秩最大且解集有限。
• 为概率算法的正确性和效率提供概率分析。

提出的方法

• 该算法使用零维参数化，并通过一个分离线性形式 λ 来代数表示解集。
• 利用多重齐次Bézout界，比标准Bézout界更精确地估计解的数量。
• 该方法依赖于Chow形式和算术Chow环，以界定解表示的高度。
• 通过多项式高度和解集的次数推导比特复杂度估计。
• 该算法为概率性算法，并包含概率分析，确保在通用性条件下正确。
• 通过将问题约化为求解拉格朗日系统，该方法被扩展至多项式最小化问题，而拉格朗日系统被视作多重齐次系统处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通用性假设下，求解多重齐次多项式系统的比特复杂度是多少？
• RQ2 比特复杂度如何随解的数量和输入多项式高度变化？
• RQ3 这些复杂度界是否可以扩展至通过拉格朗日乘子法求解的多项式最小化问题？
• RQ4 多重齐次结构在与标准Bézout界相比时，如何改善复杂度估计？
• RQ5 如何利用零维参数化和Chow形式来界定解的比特大小？

主要发现

• 求解多重齐次系统的比特复杂度被限制在解数量的二次方与输入高度的线性组合之内，对数因子除外。
• 该算法在通用性假设下实现此复杂度，包括解处雅可比行列式秩最大且解集有限。
• 解集的Chow形式高度被界定为 Hn(η, d) + log(N + 1)Cn(d)，其中 Hn 和 Cn 通过生成函数定义。
• 对于多项式最小化问题，证明了拉格朗日系统为多重齐次系统，从而可应用相同的复杂度界。
• 零维参数化中多项式高度被界定为 Hn(η, d) + (b + 4 log(N + 2))Cn(d)，其中 b 为线性形式 λ 的高度。
• 结果为概率性，且在相同通用性假设下提供了正确性分析。