[论文解读] Bivariant Chern classes and Grothendieck transformations

Jean‐Paul Brasselet, Joerg Schuermann+1 more|ArXiv.org|Apr 6, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过构建从一个精细的双变量构造函数理论到相应双变量同调理论的典范格罗滕迪克变换，确立了目标为有理同调流形（如轨道簇）的态射的双变量陈类的唯一性。关键贡献在于构造了一个唯一且归一化的变换 $\omega: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$，该变换扩展了协变的陈-施瓦茨-麦科菲森类，并解决了富勒顿与麦克菲森长期悬而未决的双变量理论中的唯一性问题。

ABSTRACT

The existence of bivariant Chern classes was conjectured by W.Fulton and R.MacPherson and proved by J.P.Brasselet for cellular morphisms of analytic varieties. In this paper we show that restricted to morphisms whose target varieties are possible singular but (rational) homology manifolds, the bivariant Chern classes (with rational coefficients) are uniquely determined. In the final sections we construct a unique bivariant Chern class satisfying a suitable normalization condition. In fact, it will be a special case of a general construction of unique Grothendieck transformations, which in a sense gives a positive answer to a corresponding question posed by Fulton and MacPherson. This construction generalizes and unifies previous attemps, in particular the main result of the paper math.AG/0209299.

研究动机与目标

• 解决目标为奇异但有理同调流形的态射的双变量陈类的未解唯一性问题。
• 构造一个满足归一化条件的格罗滕迪克变换 $\widetilde{\gamma}: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$。
• 为富勒顿与麦克菲森在双变量理论中关于格罗滕迪克变换的唯一性问题提供肯定回答。
• 证明该变换可唯一地从与外积可交换的协变理论扩展而来。

提出的方法

• 构造一个构造函数的双变量理论 $\widetilde{\mathbb{F}}$ 和相应的双变量同调理论 $\widetilde{\mathbb{H}}$。
• 通过与陈-施瓦茨-麦科菲森类相容的归一化条件，定义一个格罗滕迪克变换 $\widetilde{\gamma}: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$。
• 利用给定的协变变换 $c_*$ 与外积可交换的性质，将其唯一地扩展为一个双变量格罗滕迪克变换。
• 应用对偶操作 $\operatorname{op}_{\mathbb{PH}}$ 将变换与 $c_*$ 的像联系起来，确保单射性和唯一性。
• 利用查沃包络和拉回单射性，验证双变量类上的等价关系是平凡的，从而确保变换是良定义的。
• 建立包含拉回与上推的交换图表，以证明变换 $\widetilde{\gamma}^\text{op}$ 的唯一性，从而证明 $\widetilde{\gamma}$ 的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标簇是有理同调流形（即使奇异）时，双变量陈类是否唯一确定？
• RQ2 能否将一个从构造函数双变量理论到同调理论的格罗滕迪克变换，唯一地从一个与外积可交换的协变变换中扩展出来？
• RQ3 在目标为有理同调流形的双变量理论背景下，归一化条件是否能唯一固定双变量陈类？
• RQ4 所构造的变换 $\widetilde{\gamma}$ 与 [Y2] 中的 $\gamma^\vee$ 和 [EY2] 中的 $\widehat{\gamma}$ 有何关系？
• RQ5 对偶操作 $\operatorname{op}_{\mathbb{PH}}$ 在证明格罗滕迪克变换唯一性中起什么作用？

主要发现

• 对于目标为有理同调流形（即使奇异）的态射 $f: X \to Y$，双变量陈类是唯一确定的。
• 存在唯一的格罗滕迪克变换 $\widetilde{\gamma}: \widetilde{\mathbb{F}} \to \widetilde{\mathbb{H}}$，其满足一个归一化条件，当 $Y$ 为一点时，该变换可恢复陈-施瓦茨-麦科菲森类。
• 变换 $\widetilde{\gamma}^\text{op} = \widetilde{\operatorname{op}}_{\mathbb{PH}} \circ \widetilde{\gamma}$ 是唯一确定的，因为相关交换图表中的竖直映射是满射，且操作 $\widetilde{\operatorname{op}}_{\mathbb{PH}}$ 是单射。
• 该构造为 [FM, §10.9] 中的唯一性问题提供了肯定回答，表明在与外积相容的条件下，此类变换可唯一扩展。
• 理论 $\widetilde{\mathbb{F}}$ 被证明是 [Y2] 中 $\mathbb{F}^\vee$ 的子理论，且变换 $\widetilde{\gamma}$ 插值于最大操作变换 $\gamma^\vee$ 与潜在的真正格罗滕迪克变换 $\gamma$ 之间。
• 该结果作为特例恢复了 [EY2] 中 $\widehat{\gamma}$ 的构造，其中 $\iota_{\mathbb{A}}: \widetilde{\mathbb{A}} \to \mathbb{A}$ 的单射性源于光滑查沃包络上双变量拉回的单射性。