[论文解读] Bivariant theories in motivic stable homotopy

Frédéric Déglise|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用 13

一句话总结

本文在 motivic 稳定同伦理论中建立了双变量理论框架，通过全局完备交态射的典范基本类统一了上同调与同调。它在任意概形（无论是否奇异）上构造了 Gysin 映射、Riemann-Roch 公式和对偶同构，无需依赖基域，使用六函子形式化和绝对环谱。

ABSTRACT

The purpose of this work is to study the notion of bivariant theory introduced by Fulton and MacPherson in the context of motivic stable homotopy theory, and more generally in the broader framework of Grothendieck six functors formalism. We introduce several kinds of bivariant theory associated with a suitable ring spectrum and we construct a system of orientations (called fundamental classes) for global complete intersection morphisms between arbitrary schemes. This fundamental classes satisfies all the expected properties from classical intersection theory and lead to Gysin morphisms, Riemann-Roch formulas as well as duality statements, valid for general schemes, including singular ones and without need of a base field.

研究动机与目标

• 将 Fulton 和 MacPherson 的双变量形式化推广至 motivic 稳定同伦理论和六函子形式化。
• 在任意概形（包括奇异概形）中构造全局完备交态射的典范基本类。
• 建立适用于一般概形（无需基域假设）的 Gysin 同态、Riemann-Roch 公式和对偶定理。
• 在单一双变量框架内统一经典与广义上同调理论（如代数 K-理论、cobordism 和 étale 上同调）。
• 通过绝对环谱系统地处理双变量理论，并研究其与 motivic 六函子的相容性。

提出的方法

• 引入绝对环谱作为三角化 motivic 范畴中交换幺半群的笛卡尔截面，满足 A¹-同伦与 P¹-稳定性公理。
• 通过六函子形式化，从可表示上同调构造双变量理论，使用在概形上的纤维化三角范畴中的 f*, f*, f!, f!, ⊗ 和 Hom。
• 利用定向数据为全局完备交态射定义抽象基本类，推广经典 Gysin 映射。
• 通过相对对偶复形应用对偶同构，建立 Borel-Moore 上同调与紧支集上同调理论之间的同构。
• 通过环谱之间的 Todd 类变换推导 Riemann-Roch 公式，与基变换和对偶性相容。
• 利用六函子形式化证明，在光滑射影态射下，所有四类双变量理论（上同调、Borel-Moore、紧支集和对偶）通过典范同构重合。

实验结果

研究问题

• RQ1 Fulton 和 MacPherson 的双变量形式化如何能推广至 motivic 稳定同伦理论？
• RQ2 在任意概形中，全局完备交态射的基本类存在的条件是什么？
• RQ3 在无基域假设下，双变量结构如何导出 Gysin 同态与 Riemann-Roch 公式？
• RQ4 对偶同构以何种方式统一 Borel-Moore、紧支集和对偶上同调理论？
• RQ5 六函子形式化与绝对环谱如何实现可表示上同调向双变量理论的典范推广？

主要发现

• 本文为任意概形之间的全局完备交态射构造了典范基本类，满足经典交点理论中的所有预期性质。
• 建立了全局完备交态射的定向系统（基本类），使得在无光滑性或基域假设下也能定义 Gysin 同态。
• 对于任意光滑射影态射 $ f: X o S $，四类双变量理论——上同调、Borel-Moore、紧支集和对偶——通过典范同构重合。
• 对偶同构恢复了经典结果（如 K-理论的带支集对偶性），并将其推广至奇异概形。
• 在一般性下证明了 Riemann-Roch 公式，Todd 类变换 $ ext{Td}_ ho $ 与基变换和对偶性相容。
• 对偶同构使得 Suslin 同调可识别为具有紧支集的 motivic 上同调，将先前结果推广至无需奇点解析的奇异概形。