[论文解读] Orientation theory in arithmetic geometry

Frédéric Déglise|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 28

一句话总结

本文利用 motivic 同伦论在算术几何中发展了方向理论，建立了特征类与基本类、Gysin 同态以及残留在绝对纯化条件下的框架。证明了任意自然变换的 Grothendieck 风格 Riemann-Roch 公式，以及一个新的残余 Riemann-Roch 公式，并将其应用于有理 motivic 与 étale $\ell$-adic 上同调，验证了 SGA6 中的猜想。

ABSTRACT

This work is devoted to study orientation theory in arithmetic geometric within the motivic homotopy theory of Morel and Voevodsky. The main tool is a formulation of the absolute purity property for an \emph{arithmetic cohomology theory}, either represented by a cartesian section of the stable homotopy category or satisfying suitable axioms. We give many examples, formulate conjectures and prove a useful property of analytical invariance. Within this axiomatic, we thoroughly develop the theory of characteristic and fundamental classes, Gysin and residue morphisms. This is used to prove Riemann-Roch formulas, in Grothendieck style for arbitrary natural transformations of cohomologies, and a new one for residue morphisms. They are applied to rational motivic cohomology and étale rational $\ell$-adic cohomology, as expected by Grothendieck in \cite[XIV, 6.1]{SGA6}.

研究动机与目标

• 通过 motivic 同伦论建立算术几何中方向理论的统一公理化框架。
• 为任意上同调理论自然变换的 Grothendieck 风格 Riemann-Roch 定理制定并证明。
• 在绝对纯化条件下发展特征类与基本类、Gysin 同态以及残余映射的理论。
• 验证解析不变性，并与横截拉回、多余交集及投影公式相容。
• 将结果应用于有理 motivic 上同调与 étale 有理 $\ell$-adic 上同调，确认 SGA6 中的预期。

提出的方法

• 采用稳定 motivic 同伦范畴中 cartesian 截面表示的算术上同调理论的绝对纯化表述。
• 应用 (算术) 上同调理论的公理，推导出陈类、陈类与 $\mathbf{MGL}$-模的性质。
• 通过闭浸入与拟正则局部完全交（lci）投影态射的局部化长正合列构造 Gysin 同态与残余映射。
• 利用 Todd 类与通用公式推导 Riemann-Roch 定理，包含代数 K-理论与上同调之间的显式交换图表。
• 依赖形式群律的唯一性，证明在加法形式群律情况下 Todd 类恒为 1。
• 在 $\mathbb{Z}[1/N]$-概形背景下，将构造与 Gabber-Riou 的 Gysin 映射进行比较，确认在约定调整后的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 motivic 同伦论系统地发展算术几何中的方向理论？
• RQ2 在算术上同调中，Gysin 同态与残余映射存在的充要条件是什么？
• RQ3 在 motivic 设置下，Riemann-Roch 公式如何推广至任意上同调理论之间自然变换的情形？
• RQ4 绝对纯化性质在确保解析不变性与与交集理论相容性方面起什么作用？
• RQ5 该框架中的构造如何与 étale 上同调与代数 K-理论中的已知结果相关联，特别是在 SGA6 背景下？

主要发现

• 在绝对纯化条件下，特征类与基本类的理论得到充分发展，使得交集理论得以系统处理。
• 为闭浸入与拟正则局部完全交（lci）投影态射构造了 Gysin 同态与残余映射，其满足横截拉回、多余交集与投影公式公理。
• 证明了一个新的残余 Riemann-Roch 公式，将经典的 Grothendieck 风格公式推广至具有法丛的闭浸入情形。
• 高阶陈特征映射 $\operatorname{ch}_r$ 从 Quillen 或 Weibel 的 $KH_r$-理论良好定义于有理 motivic 与 étale $\ell$-adic 上同调中，并与上推保持交换。
• 对于具有加法形式群律的理论，Riemann-Roch 公式中的 Todd 类恒为 1，从而简化了通用公式。
• 当对偶约定正确对齐时，本文构造的 Gysin 映射在 $\mathbb{Z}[1/N]$-概形情形下与 Gabber-Riou 的映射一致。