[论文解读] Bivariate Discrete Exponentiated Weibull Distribution: Properties and Applications

Mahmoud El-Morshedy, Alamgir Khalil|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新的五参数双变量离散指数威布尔（BDEW）分布，用于建模具有灵活风险率形状的依赖计数数据。该文推导了关键统计特性，通过最大似然估计法估计参数，并通过两个实际数据应用表明，BDEW在拟合优度方面优于其他离散双变量模型，表现为AIC、BIC、CAIC和-2log-likelihood值更低。

ABSTRACT

In this paper, a new bivariate discrete distribution is introduced which called bivariate discrete exponentiated Weibull (BDEW) distribution. Several of its mathematical statistical properties are derived such as the joint cumulative distribution function, the joint joint hazard rate function, probability mass function, joint moment generating function, mathematical expectation and reliability function for stress-strength model. Further, the parameters of the BDEW distribution are estimated by the maximum likelihood method. Two real data sets are analyzed, and it was found that the BDEW distribution provides better fit than other discrete distributions.

研究动机与目标

• 开发一种具有灵活风险率行为的新双变量离散分布，用于建模依赖计数数据。
• 将单变量指数离散威布尔分布扩展至双变量框架，以改进成对离散事件的建模。
• 推导包括联合分布函数、概率质量函数、矩生成函数及应力-强度模型中可靠性函数在内的全面统计特性。
• 使用最大 likelihood 估计法（MLE）估计模型参数，以实现实际应用。
• 通过真实数据集评估BDEW分布相对于现有双变量离散模型的性能表现。

提出的方法

• 通过向下取整函数对连续指数威布尔分布进行离散化，定义BDEW分布：$ X = [Y] $，其中 $ Y \sim EW(\alpha, \lambda, \beta) $ 且 $ \lambda = -\ln(p) $。
• 推导联合概率质量函数（PMF）为 $ P(X_1 = x_1, X_2 = x_2) = F(x_1, x_2) - F(x_1-1, x_2) - F(x_1, x_2-1) + F(x_1-1, x_2-1) $，其中 $ F(x_1, x_2) $ 为联合分布函数。
• 获得联合矩生成函数与联合概率生成函数（PGF），以刻画依赖结构与矩特性。
• 推导边缘分布与条件分布，包括 $ P(X_1 = x_1 | X_2 = x_2) $、$ F_{X_1|X_2}(x_1 | x_2) $ 及条件期望 $ E(X_1 | X_2 = x_2) $。
• 通过求解由对数似然函数导出的五个非线性方程组，使用最大似然估计法估计参数 $ \alpha, p, \beta_1, \beta_2, \beta_3 $。
• 应用信息准则（AIC、BIC、CAIC、HQIC）及最大对数似然值（-L）比较不同竞争分布的模型拟合优度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种双变量离散分布，使其继承指数威布尔分布的灵活性，同时实现对依赖计数数据的有效建模？
• RQ2 所提出的BDEW分布的关键统计特性（如联合PMF、CDF、MGF及可靠性函数）是什么？
• RQ3 与现有模型（如双变量几何分布、双变量泊松分布及独立双变量泊松分布）相比，BDEW分布对真实双变量计数数据的拟合效果如何？
• RQ4 BDEW分布能否有效建模两个变量中均呈现不同风险率行为的数据？
• RQ5 在实际应用中，BDEW模型的最大似然估计性能如何？

主要发现

• 在意大利足球比赛得分数据中，BDEW分布的拟合效果优于其他竞争模型（BG、IBP、BP、BP min、BDGE、BDERe），表现为最低的-2log-likelihood（158.42）、AIC（168.42）、CAIC（170.12）、BIC（172.15）和HQIC（169.10）值。
• 在跳水比赛得分数据中，BDEW模型在所有测试分布中实现了最小的-2log-likelihood（128.31）、AIC（138.31）、CAIC（140.01）、BIC（142.04）和HQIC（139.02）值。
• BDEW分布通过其灵活的参数化成功捕捉了双变量计数数据中的复杂依赖结构与变化的风险率行为。
• 已推导出BDEW参数的最大似然估计量，并通过求解非线性方程组的数值方法证明其可行性。
• 在两个真实数据应用中，BDEW模型均优于双变量几何分布、双变量泊松分布及独立双变量泊松模型，表明其具有更优的拟合优度。
• BDEW分布的联合PMF与CDF通过连续指数威布尔分布的向下取整函数变换推导得出，从而可精确计算概率与生存函数。