[论文解读] Black-Scholes equation from Gauge Theory of Arbitrage

Kirill Ilinski, Gleb Kalinin|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 1997

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文从套利规范场论（GTA）推导出布莱克-斯科尔斯方程，将金融市场视为规范场论，其中套利机会对应于曲率。该研究引入了由于虚拟套利和市场反馈导致的非局部校正，将布莱克-斯科尔斯PDE转化为更准确捕捉非布朗运动价格动态和市场非有效性的积分微分方程。

ABSTRACT

We apply Gauge Theory of Arbitrage (GTA) {hep-th/9710148} to derivative pricing. We show how the standard results of Black-Scholes analysis appear from GTA and derive correction to the Black-Scholes equation due to a virtual arbitrage and speculators reaction on it. The model accounts for both violation of the no-arbitrage constraint and non-Brownian price walks which resemble real financial data. The correction is nonlocal and transform the differential Black-Scholes equation to an integro-differential one.

研究动机与目标

• 通过规范场论（GTA）重新表述衍生品定价，将金融市场视为规范场论。
• 将标准布莱克-斯科尔斯方程作为GTA框架下的极限情况推导出来。
• 考虑市场缺陷，如临时套利机会和非布朗运动价格变动。
• 将套利的套利者反应建模为规范场论框架内的动态反馈机制。
• 通过引入非局部校正，将布莱克-斯科尔斯模型扩展至经典假设之外。

提出的方法

• 将金融市场形式化为带有连接（规范场）的主丛，该连接代表市场的风险中性测度。
• 引入表示局部套利潜力的曲率2-形式，类似于规范场论中的场强。
• 在平坦连接极限（无套利）下，推导出布莱克-斯科尔斯PDE作为运动方程。
• 通过非平凡曲率引入虚拟套利效应，导致定价方程中出现校正项。
• 将套利者的市场行为建模为对曲率的响应，通过积分微分算子引入非局部反馈机制。
• 通过路径积分或卷积核，将局部布莱克-斯科尔斯PDE转化为非局部积分微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从金融市场的规范场论框架中推导出布莱克-斯科尔斯方程？
• RQ2 在规范场模型中，曲率的作用是什么？它如何表示套利机会？
• RQ3 非布朗运动价格动态和市场非有效性如何影响标准布莱克-斯科尔斯模型？
• RQ4 由于虚拟套利和市场反馈导致的布莱克-斯科尔斯方程校正项的数学形式是什么？
• RQ5 所得到的积分微分方程是否比经典PDE更能描述真实金融数据？

主要发现

• 标准布莱克-斯科尔斯方程作为规范场论中平坦连接极限出现，对应于无套利条件。
• 推导出一个非局部校正项，将局部布莱克-斯科尔斯PDE转化为积分微分方程。
• 该校正项源于规范场的曲率，表示虚拟套利机会及其市场影响。
• 该模型能够解释真实金融时间序列中观察到的非布朗运动价格变动。
• 套利者的市场反应被建模为动态反馈，编码于校正方程的非局部核中。
• 所得方程通过引入市场微观结构效应和瞬时非有效性，推广了布莱克-斯科尔斯模型。