[论文解读] BLG theories at low values of Chern-Simons coupling

Denis Bashkirov|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过计算其超共形指数，识别出两个低级BLG理论——$SU(2)_1 \times SU(2)_{-1}$ 和 $(SU(2)_2 \times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$——的不可约组成部分。结果表明，前者是 $\mathcal{N}=8$ $SU(2)$ SYM 理论与一个自由 $U(1)_2 \times U(1)_{-2}$ 理论的乘积，而后者则是两个相同 $\mathcal{N}=8$ $SU(2)$ SYM 理论的乘积，从而解决了此前关于其结构的模糊性，尽管它们的模空间相同。

ABSTRACT

It was checked in paper [1] by comparing the moduli spaces and superconformal indices that two of the BLG theories $(SU(2)_{1} imes SU(2)_{-1})/{\mathbb Z}_2$ and $SU(2)_2 imes SU(2)_{-2}$ are dual to $U(2)_1 imes U(2)_{-1}$ and $U(2)_{2} imes U(2)_{-2}$ ABJM theories, correspondingly. In this paper we consider the BLG theories $SU(2)_1 imes SU(2)_{-1}$ and $(SU(2)_2 imes SU(2)_{-2})/{\mathbb Z}_2$. These theories were noted in [1] to be a tensor product of two interacting ${\mathcal N}=8$ SCFT's. In this paper we identify the SCFT's that occur in the product. For both theories one of the sectors is the IR limit of ${\mathcal N}=8$ SU(2) SYM.

研究动机与目标

• 解决具有相同模空间但不同动力学行为的低级BLG理论结构上的模糊性。
• 确定 $SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ 和 $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ BLG 理论是否可分解为更简单的超共形场理论（SCFT）。
• 利用超共形指数作为诊断工具，识别这些BLG理论背后的基底SCFT。
• 澄清BLG理论与最大超对称 $SO(4)$ 和 $Spin(4)$ SYM 理论的IR极限之间的关系。

提出的方法

• 计算 $U(1)_2\times U(1)_{-2}$、$U(2)_1\times U(2)_{-1}$、$SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ 以及 $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ 理论的超共形指数，至 $x^4$ 阶。
• 利用 Seiberg-Kim 变形方法，研究 $\mathcal{N}=2$ 子代数中低维标量双线性算符的谱，利用指数在形变下的保护性。
• 在具有 $\mathcal{N}=8$ 超对称的陈-西蒙斯-物质理论背景下，分析单极算符及其 GNO 电荷。
• 通过比较不同拓扑荷区段与 GNO 电荷构型下的指数贡献，检测乘积结构。
• 利用指数分解方法，判断理论是否可分解为两个 SCFT 的张量积。
• 将指数结果与已知的 $\mathcal{T}_{SU(2)}$（$\mathcal{N}=8$ $SU(2)$ SYM 的IR极限）和 $U(1)_2\times U(1)_{-2}$（自由标量）的指数结构进行匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管模空间相同，$SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ 和 $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ BLG 理论是否可分解为更简单的 SCFT？
• RQ2 构成 $SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ BLG 理论的基本 SCFT 是什么？
• RQ3 $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ BLG 理论是否可分解为两个相同相互作用的 SCFT 的乘积？
• RQ4 给定两者共享模空间，超共形指数如何区分这两个 BLG 理论？
• RQ5 是否 $SU(2)_2\times SU(2)_{-2}$ BLG 理论（经 $\mathbb{Z}_2$ 商）等价于 $SO(4)$ 或 $Spin(4)$ SYM 的IR极限？

主要发现

• 识别出 $SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ BLG 理论为张量积 $\mathcal{T}_{SU(2)}\otimes(U(1)_2\times U(1)_{-2})$，其中 $\mathcal{T}_{SU(2)}$ 是 $\mathcal{N}=8$ $SU(2)$ SYM 的IR极限，而 $U(1)_2\times U(1)_{-2}$ 是四个自由标量的自由理论。
• $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ BLG 理论被识别为 $\mathcal{T}_{SU(2)}\otimes\mathcal{T}_{SU(2)}$，确认其为两个 $\mathcal{N}=8$ $SU(2)$ SYM 理论在IR下的乘积。
• $U(2)_1\times U(2)_{-1}$ ABJM 理论的超共形指数与 $\mathcal{T}_{SU(2)}\otimes(U(1)_2\times U(1)_{-2})$ 一致，证实了 $U(1)$ 因子对应于质心运动。
• $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ BLG 理论的指数与 $\mathcal{T}_{SU(2)}\otimes\mathcal{T}_{SU(2)}$ 一致，确认其乘积结构，并将其与 $SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ 情况区分开来。
• $SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ 理论不等价于 $SO(4)$ SYM 的IR极限，而 $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ BLG 理论本质上是 $SO(4)\cong (SU(2)\times SU(2))/\mathbb{Z}_2$ SYM 的IR极限。
• 指数计算表明，$SU(2)_1\times SU(2)_{-1}$ 理论在 $x^4$ 阶对 $|1\rangle|0\rangle$ 和 $|0\rangle|1\rangle$ 态有非零指数贡献，而 $(SU(2)_2\times SU(2)_{-2})/\mathbb{Z}_2$ 理论对这些态的贡献为零，从而证实了其结构上的本质差异。