[论文解读] Block belief propagation algorithm for two-dimensional tensor networks

Chu Guo, Dario Poletti+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2023

Quantum many-body systems参考文献 58被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种块信念传播（blockBP）算法，用于高效收缩二维张量网络，实现了对有限和无限二维量子系统基态的精确近似。通过将系统划分为非重叠的块，并在块之间传递消息，blockBP 考虑了块内相关性，同时支持高度并行化，相较于现有方法显著加快收敛速度，在二维海森伯模型和横向伊辛模型中实现了最先进精度。

ABSTRACT

Belief propagation is a well-studied algorithm for approximating local marginals of multivariate probability distribution over complex networks, while tensor network states are powerful tools for quantum and classical many-body problems. Building on a recent connection between the belief propagation algorithm and the problem of tensor network contraction, we propose a block belief propagation algorithm for contracting two-dimensional tensor networks and approximating the ground state of $2D$ systems. The advantages of our method are three-fold: 1) the same algorithm works for both finite and infinite systems; 2) it allows natural and efficient parallelization; 3) given its flexibility it would allow to deal with different unit cells. As applications, we use our algorithm to study the $2D$ Heisenberg and transverse Ising models, and show that the accuracy of the method is on par with state-of-the-art results.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展且精确的二维张量网络收缩方法，尤其适用于强关联量子系统。
• 通过广义消息传递框架引入块级相关性，克服标准信念传播在环状网络中的局限性。
• 在单一算法框架内统一处理有限和无限系统，避免分别实现。
• 实现张量网络收缩的高效并行化，降低计算时间同时保持高精度。
• 提供一种灵活的方法，可适应不同单元胞和晶格几何结构，包括量子化学中的不规则结构。

提出的方法

• 该算法将二维张量网络划分为非重叠自旋块，将每个块在消息传递过程中视为单一实体。
• 使用改进的信念传播框架在块之间传递消息，通过精确收缩块内张量网络来考虑每个块内的内部相关性。
• 块环境通过相邻块传入消息的乘积近似，优于标准BP的平均场近似。
• 该方法采用混合策略：块内局部更新使用边界矩阵乘积态（bMPS）方案，保有键维数χ；块间消息计算则使用独立的键维数χm。
• 通过虚时演化（ITE）迭代应用该算法，以收敛至基态，收敛性通过能量和可观测量变化进行监控。
• 通过调整边界条件和块结构，该框架自然支持有限系统（周期性或开放边界）和无限系统（iPEPS）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将自旋分组为块，将信念传播推广至处理二维张量网络中的环状结构？
• RQ2 块级消息传递是否在二维量子系统中显著提升精度，相较于平均场信念传播？
• RQ3 同一算法是否无需架构更改即可高效处理有限和无限二维系统？
• RQ4 与现有张量网络方法相比，blockBP 在多大程度上实现了并行化并减少了运行时间？
• RQ5 在二维海森伯模型和横向伊辛模型等基准模型中，该方法在能量和可观测量精度方面的表现如何？

主要发现

• 对于无限横向伊辛模型，blockBP 在块大小 k=3 时实现能量收敛至小数点后第五位，收敛速度优于标准 bMPS。
• 对于二维海森伯模型，blockBP 达到与最先进方法相当的基态能量，且在不同键维数 D=2,3,4 下结果稳定。
• 该方法在无限系统中显著快于 bMPS 实现收敛，即使在小系统尺寸下也能达到高精度。
• 运行时间随 PEPS 键维数 D 迅速增长，但对于 D≤5 仍保持可行，且在小 D 下性能可与全更新算法媲美。
• 消息计算中默认选择 χm=D² 可在所有测试模型中获得准确结果，表明对超参数调优具有鲁棒性。
• 该算法高度可并行化，运行时间随线程数增加而有利缩放，尤其在大系统中表现更优。