[论文解读] Blocks for mod $p$ representations of $GL_2(Q_p)$

Vytautas Paškūnas|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 9

一句话总结

该论文证明了，$ \mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的绝对不可约模 $p$ 表示之间的非分裂扩张，作为由标准表示和对称幂表示构造的酉 Banach 空间表示的模 $p$ 约化中的子商表示而出现。关键贡献是利用 Berger-Breuil 的晶体表示模 $p$ 约化理论，对块（在非分裂扩张下等价类）进行分类，其中对 $p=2$ 得到了新结果，并对所有 $p$ 提供了统一的证明。块以标准表示、Steinberg 表示和特殊表示的形式明确描述，具体形式取决于 $p$ 和中心特征标。

ABSTRACT

Let $π_1$ and $π_2$ be absolutely irreducible smooth representations of $G=GL_2(Q_p)$ with a central character, defined over a finite field of characteristic $p$. We show that if there exists a non-split extension between $π_1$ and $π_2$ then they both appear as subquotients of the reduction modulo $p$ of a unit ball in a crystalline Banach space representation of $G$. The results of Berger-Breuil describe such reductions and allow us to organize the irreducible representation into blocks. The result is new for $p=2$, the proof, which works for all $p$, is new.

研究动机与目标

• 对 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的绝对不可约光滑模 $p$ 表示的块在非分裂扩张下进行分类。
• 证明任意一对具有非零 $\mathrm{Ext}^1$ 的此类表示，均作为酉 Banach 表示的模 $p$ 约化中的子商表示出现。
• 将块的分类扩展至 $p=2$ 的情形，此前该情形尚属开放，使用对所有 $p$ 均有效的统一方法。
• 通过 Berger-Breuil 的晶体 Banach 表示约化理论，将模 $p$ 表示的结构组织为块。

提出的方法

• 构造形如 $\mathrm{Ind}_B^G(\chi_1 \otimes \chi_2|\cdot|^{-1})_{\mathrm{sm}} \otimes \det^l \otimes \mathrm{Sym}^{k-1}L^2$ 的表示的通用酉完备化。
• 考虑该 Banach 表示中的一个开有界 $G$-不变格，并模 $\varpi$ 约化，得到模 $p$ 表示。
• 利用 Berger-Breuil 分类法描述该约化的半简化形式 $\overline{\Pi}^{ss}$。
• 应用可接受表示理论和 $\mathrm{Ext}^1$-类理论，证明任意两个绝对不可约模 $p$ 表示之间的非分裂扩张，必然来自此类约化。
• 通过非零 $\mathrm{Ext}^1$ 定义不可约可接受模 $p$ 表示之间的等价关系，并将块定义为该关系下的等价类。
• 利用不可约光滑模 $p$ 表示的分类（Barthel-Livné, Breuil），枚举所有可能的块，根据 $p$ 和特殊表示或超奇异表示的存在性区分情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些绝对不可约模 $p$ 表示对 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 可能存在非分裂扩张？
• RQ2 此类非分裂扩张能否作为酉 Banach 空间表示的模 $p$ 约化中的子商表示实现？
• RQ3 模 $p$ 表示的块——在非分裂扩张下的等价类——的结构是什么，特别是对 $p=2$ 的情形？
• RQ4 块如何依赖于中心特征标和剩余域 $k$？
• RQ5 能否利用 Berger-Breuil 的晶体表示模 $p$ 约化理论对所有此类块进行分类？

主要发现

• 对 $p=2$，块 $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}\} \otimes \delta \circ \det$ 作为酉 Banach 表示的模 $p$ 约化中的子商表示实现。
• 对 $p \geq 5$，块 $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}, (\mathrm{Ind}_B^G(\omega \otimes \omega^{-1}))_{\mathrm{sm}}\} \otimes \delta \circ \det$ 来自此类约化。
• 对 $p=3$，块 $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}, \omega \circ \det, \mathrm{Sp} \otimes \omega \circ \det\} \otimes \delta \circ \det$ 以相同方式实现。
• 对 $p>2$，块 $\{ (\mathrm{Ind}_B^G(\delta \otimes \delta \omega^{-1}))_{\mathrm{sm}} \}$ 作为标准表示情形的退化形式出现。
• 块的分类是完整的，其依赖于 $p$、中心特征标以及酉 Banach 表示模 $p$ 约化的结构。
• 对 $p=2$ 的结果为新发现，且证明对所有 $p$ 均适用，为 $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ 的模 $p$ 表示提供了统一的块分类。