[论文解读] Bombieri-Vinogradov for multiplicative functions, and beyond the $x^{1/2}$-barrier

Andrew Granville, Xuancheng Shao|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文為滿足 $ |f(n)| \leq 1 $ 的乘法函數 $ f $ 建立了一個類似 Bombieri-Vinogradov 的定理，於 $ 1 $-Siegel-Walfisz 條件下將模數範圍擴展至 $ q \leq x^{20/39 - \delta} $。本文證明此類平均值的上界為 $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $，並透過構造反例顯示此界近乎最佳，即使考慮到異常特徵的情況亦成立。

ABSTRACT

Part-and-parcel of the study of "multiplicative number theory" is the study of the distribution of multiplicative functions in arithmetic progressions. Although appropriate analogies to the Bombieri-Vingradov Theorem have been proved for particular examples of multiplicative functions, there has not previously been headway on a general theory; seemingly none of the different proofs of the Bombieri-Vingradov Theorem for primes adapt well to this situation. In this article we find out why such a result has been so elusive, and discover what can be proved along these lines and develop some limitations. For a fixed residue class $a$ we extend such averages out to moduli $\leq x^{\frac {20}{39}-δ}$.

研究动机与目标

• 發展一個適用於滿足 $ |f(n)| \leq 1 $ 的乘法函數 $ f $ 的一般 Bombieri-Vinogradov 型定理，突破傳統的 $ x^{1/2} $ 限制。
• 識別當 $ f $ 與小導子的狄利克雷特徵有強烈相關時，此類定理的限制。
• 在 Bombieri-Vinogradov 框架下，針對乘法函數確定最佳可能誤差界，特別是在 Siegel-Walfisz 條件失效時。
• 利用 Gowers $ U^k $-範數探討更高階的分佈性質，並與算術級數中的平均分佈性質建立關聯。

提出的方法

• 針對乘法函數 $ f \in \mathcal{C} $，引入廣義的 Bombieri-Vinogradov 平均 $ \sum_{q \sim Q} \max_{(a,q)=1} |\Delta(f,x;q,a)| $，其中 $ \mathcal{C} $ 為滿足 $ |\Lambda_f(n)| \leq \Lambda(n) $ 的乘法函數集合。
• 利用 $ 1 $-Siegel-Walfisz 準則控制當 $ f $ 不與低導子特徵強烈相關時的誤差項。
• 應用包含異常特徵 $ \psi $ 的分解，其中 $ |S_f(x,\psi)| $ 較大，並透過 $ \sigma_f(x,\psi) = \sup_{x^{1/2} < X \leq x} |S_f(X,\psi)/X| $ 界定其貢獻。
• 透過高斯和與特徵參數的均勻分佈性，構造顯式反例，顯示 $ x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ 界近乎最佳。
• 利用 Gowers $ U^k $-範數將結果推廣至更高階的均勻性，證明在光滑支撐與強烈抵消假設下，對幾乎所有 $ q \leq Q $，有 $ \|f(q\cdot + a)\|_{U^k(x/q)} \leq \varepsilon $。
• 結合加法組合數學的成果，如 Gowers 範數的逆定理，將與 nilsequence 的相關性與異常模數關聯起來。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為一般乘法函數 $ f $ 滿足 $ |f(n)| \leq 1 $ 建立超越 $ x^{1/2} $ 限制的 Bombieri-Vinogradov 型定理？
• RQ2 此類定理中最佳可能的誤差項為何？其與 $ f $ 對小導子狄利克雷特徵相關性的關係為何？
• RQ3 當 $ f $ 非 von Mangoldt 或 Möbius 函數，而是任意乘法函數時，傳統 Bombieri-Vinogradov 方法在多大程度上可被適應？
• RQ4 高階 Gowers 範數與乘法函數在算術級數中分佈性質之間有何關聯？
• RQ5 Bombieri-Vinogradov 平均的界 $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ 是否近乎精確，即使考慮到 $ \varepsilon $ 因子？

主要发现

• 本文在 $ 1 $-Siegel-Walfisz 準則下，為滿足條件的乘法函數 $ f \in \mathcal{C} $ 建立了 Bombieri-Vinogradov 型界，適用於模數 $ q \leq x^{20/39 - \delta} $，突破了傳統的 $ x^{1/2} $ 限制。
• 誤差項被界為 $ \ll x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $，並透過構造反例證明此界近乎最佳。
• 對於任意固定 $ k $，本文證明：當 $ f $ 支撐於 $ y $-光滑數且滿足強烈抵消時，對幾乎所有 $ q \leq Q = x^{1/2} / (y^{1/2} (\log x)^A) $，有 $ \|f(q\cdot + a)\|_{U^k(x/q)} \leq \varepsilon $。
• 作者透過構造一個 $ f \in \mathcal{C} $，使得 $ \sum_{q \sim Q} \max_a |\Delta(f,x;q,a)| \gg x / (\log x)^{1 - \varepsilon'} $（其中 $ \varepsilon' \sim 2 / \sqrt{3k} $），證明 $ x / (\log x)^{1 - \varepsilon} $ 界在 $ \varepsilon $ 因子內為最佳。
• 本文顯示，當 $ f $ 與多個模數為質數 $ q $ 的本原特徵 $ \psi \pmod{q} $ 相關時，滿足 $ 1 - \text{Re}(g(\psi)) > 1 - 1/(2\sqrt{q}) $ 的特徵數量約為 $ q/3 $，導致 $ S_f(x,\psi) $ 較大，進而限制 Bombieri-Vinogradov 界的強度。
• 透過 Gowers 範數，本文將結果推廣至更高階均勻性，證明在 $ 1 $-Siegel-Walfisz 準則與光滑支撐下，$ \|f(q\cdot + a)\|_{U^k(x/q)} \to 0 $ 平均而言，對 $ q \leq x^{1/2 - o(1)} $ 成立。