[论文解读] Book Embeddings of Graph Products

Sergey Pupyrev|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文研究了路径与有界树宽或有界路径宽图之间的强图积的堆栈数（书厚度）。通过引入一种新颖的同步堆栈-队列布局概念，作者证明了当 $G$ 为有界路径宽图或有界树宽且有界度的二分图时，路径与 $G$ 的强积的堆栈数是有界的，从而解决了在非平面图族及堆栈与队列布局关系方面具有重要意义的一个开放问题。

ABSTRACT

A $k$-stack layout (also called a $k$-page book embedding) of a graph consists of a total order of the vertices, and a partition of the edges into $k$ sets of non-crossing edges with respect to the vertex order. The stack number (book thickness, page number) of a graph is the minimum $k$ such that it admits a $k$-stack layout. A $k$-queue layout is defined similarly, except that no two edges in a single set may be nested. It was recently proved that graphs of various non-minor-closed classes are subgraphs of the strong product of a path and a graph with bounded treewidth. Motivated by this decomposition result, we explore stack layouts of graph products. We show that the stack number is bounded for the strong product of a path and (i) a graph of bounded pathwidth or (ii) a bipartite graph of bounded treewidth and bounded degree. The results are obtained via a novel concept of simultaneous stack-queue layouts, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决开放问题1：当 $G$ 具有有界树宽时，$P_n \boxtimes G$ 的堆栈数是否由树宽的函数有界。
• 探索图积（特别是强积）的结构特性，以理解其书嵌入行为。
• 建立图积中堆栈数与队列数之间的联系，对图绘制领域长期存在的开放问题具有启示意义。
• 引入并利用同步堆栈-队列布局的概念，作为分析书嵌入的新型技术工具。
• 通过分解定理，为理解非最小闭图族（如 $k$-平面图）的堆栈数提供基础。

提出的方法

• 引入同步堆栈-队列布局的概念，即在非交叉和非嵌套约束下，将边同时分配给堆栈和队列。
• 以强积 $P_n \boxtimes G$ 为主要结构，其中 $P_n$ 为路径，$G$ 为有界路径宽或有界树宽图。
• 证明当 $G$ 具有有界路径宽时，$P_n \boxtimes G$ 的堆栈数由路径宽的函数有界。
• 将结果扩展至有界树宽且有界度的二分图，证明其与路径的强积具有有界堆栈数。
• 利用已知的分解定理，如引理1，该引理指出 $k$-平面图是 $P_n \boxtimes G$ 的子图，其中 $G$ 的树宽为 $O(k^5)$。
• 应用分层路径宽的框架，并通过结果建立联系：分层路径宽为 $p$ 的图，其堆栈数至多为 $4p$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 具有有界树宽时，$P_n \boxtimes G$ 的堆栈数是否由 $G$ 的树宽的函数有界？
• RQ2 路径与有界路径宽图的强积的堆栈数是否可以有界？
• RQ3 路径与有界树宽且有界度的二分图的强积是否具有有界堆栈数？
• RQ4 能否利用同步堆栈-队列布局推导图积的堆栈数上界？
• RQ5 若 $P_n \boxtimes G$ 具有有界堆栈数，是否意味着 $k$-平面图的堆栈数为常数？

主要发现

• 当 $G$ 具有有界路径宽时，$P_n \boxtimes G$ 的堆栈数有界，为开放问题1在该类图中提供了肯定答案。
• 当 $G$ 为有界树宽且有界度的二分图时，$P_n \boxtimes G$ 的堆栈数有界。
• 作者引入并利用同步堆栈-队列布局作为关键技术突破，推导出主要结果。
• 结果表明，$k$-平面图可能具有有界堆栈数，因为它们是 $G$ 为有界树宽时的 $P_n \boxtimes G$ 的子图。
• 该研究解决了图绘制领域长期存在的一个开放问题：若开放问题1的答案为否定，则将解决关于堆栈数与队列数关系的30年难题。
• 该工作为 $k$-平面图的堆栈数是否由常数有界这一开放问题提供了部分解答。