[论文解读] Boolean Representations of Matroids and Lattices

Zur Izhakian, John Rhodes|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2011

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文提出了一种有限格的新型布尔矩阵表示方法，通过其关联的平坦格证明了每个拟阵均可被布尔表示。该方法提供了一种构造性、计算上可访问的框架，将拟阵几何与布尔代数联系起来，得到了更紧的表示大小上界，并可推广至热带和幂等半环表示。

ABSTRACT

We introduce a new representation concept for lattices by boolean matrices, and utilize it to prove that any matroid is boolean representable. We show that such a representation can be easily extracted from a representation of the associated lattice of flats of the matroid, leading also to a tighter bound on the representation's size. Consequently, we obtain a linkage of boolean representations with geometry in a very natural way.

研究动机与目标

• 开发一种基于布尔矩阵的有限格新表示框架。
• 通过平坦格建立拟阵几何与布尔代数之间的构造性联系。
• 为拟阵布尔表示的大小提供更紧的上界。
• 将结果推广至热带和幂等半环，展示更广泛的可表示性。

提出的方法

• 通过布尔矩阵表示定义格的 c-独立性和 c-秩，确保与格的高度相容。
• 通过将其平坦格表示限制到格的原子上，构造拟阵的布尔表示。
• 利用布尔半环到热带半环的自然嵌入，将结果扩展至可热带表示的拟阵。
• 应用上生成子集及其划分的概念，以刻画格中的 c-依赖性。
• 以超布尔半环上的格拉斯曼-普吕克映射作为布尔独立性的基础。
• 通过二项式系数之和（至拟阵秩）推导出表示大小的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个拟阵是否都能使用布尔矩阵表示？如果是，这种表示能否系统地构造？
• RQ2 格的布尔表示的 c-秩如何与它的几何高度和链结构相关？
• RQ3 给定拟阵的布尔表示大小的最紧可能上界是什么？
• RQ4 布尔表示在多大程度上可推广至热带或幂等半环等其他代数结构？
• RQ5 格中 c-独立性和 c-秩的概念如何对应于已知的组合与几何性质？

主要发现

• 通过拟阵平坦格的构造，证明了每个拟阵均可被布尔表示。
• 格的布尔表示的 c-秩等于格的高度，建立了强结构对应关系。
• 拟阵的表示大小上界为二项式系数之和 ∑ᵢ₌₀ᵏ (ⁿᵢ)，其中 n 为基集大小，k 为秩。
• 布尔表示可直接从平坦格中提取，提供一种系统且几何自然的构造方法。
• 所有拟阵均可被热带表示，更一般地，通过布尔半环嵌入到此类结构中，可在任意幂等半环上表示。
• 该方法得到的表示大小上界比以往方法更紧，尤其在考虑严格联合不可约元时表现更优。