[论文解读] Tropical Arithmetic and Tropical Matrix Algebra

Zur Izhakian|arXiv (Cornell University)|May 22, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用 21

一句话总结

本文引入了一个扩展的热带半环，通过引入实数的对偶副本和一个形式上的 $-\infty$ 元素，推广了标准热带半环，从而实现了具有明确定义的正则性与伪逆性的精细矩阵代数。主要贡献在于证明了：一个热带矩阵是伪可逆的，当且仅当它是热带正则的，并给出了类似于经典线性代数的伪逆显式公式。

ABSTRACT

This paper introduces a new structure of commutative semiring, generalizing the tropical semiring, and having an arithmetic that modifies the standard tropical operations, i.e. summation and maximum. Although our framework is combinatorial, notions of regularity and invertibility arise naturally for matrices over this semiring; we show that a tropical matrix is invertible if and only if it is regular.

研究动机与目标

• 为解决经典热带线性代数中的基本局限性，特别是标准热带半环 $(\mathbb{R} \cup \{-\infty\}, \max, +)$ 中加法的幂等性，该性质阻碍了可逆性和秩等稳健概念的发展。
• 通过取 $\mathbb{R}$、$\mathbb{R}^\nu$ 和 $-\infty$ 的不相交并集，构建一个新的交换半环结构——称为扩展热带半环——并配备修改后的热带加法 $\oplus$ 和乘法 $\odot$，使得 $\mathbb{R}^\nu$ 上的加法不再幂等。
• 在该半环上发展一种矩阵代数，支持类似于经典域上线性代数中自然的正则性和可逆性概念。
• 通过编码加法重数，建立该代数框架与热带几何之间的联系，从而促进热带代数集的定义。

提出的方法

• 定义扩展热带半环 $\mathbb{T} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \mathbb{R}^\nu$，配备一个总序 $\prec$，该序扩展了 $\mathbb{R}$ 上的标准序，并配备操作 $\oplus$ 和 $\odot$，它们推广了 $\max$ 和 $+$。
• 引入一个同态 $\pi: \mathbb{T} \to \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$，将 $\mathbb{R}^\nu$ 中的元素映射到 $\overline{\mathbb{R}}$，从而在经典热带代数之间建立桥梁。
• 在 $\mathbb{T}$ 上定义矩阵乘法和加法，其中矩阵 $\mathcal{A}$ 的伪逆 $\mathcal{A}^{\triangledown}$ 按照经典伴随公式构造：$\mathcal{A}^{\triangledown} = \text{Adj}(\mathcal{A}^2) / |\mathcal{A}^2|$。
• 证明矩阵 $\mathcal{A}$ 是正则的，当且仅当它是伪可逆的，且 $\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$ 和 $\mathcal{A}^{\triangledown} \mathcal{A}$ 是幂等矩阵。
• 利用同态 $\pi_*: M_n(\mathbb{T}) \to M_n(\overline{\mathbb{R}})$ 将扩展半环上的矩阵与经典热带矩阵联系起来，证明 $\pi_*(\widetilde{\mathcal{I}}' \mathcal{A}) = \mathcal{A}$ 且 $\pi_*(\mathcal{A}^{\triangledown} \widetilde{\mathcal{I}}') = \mathcal{A}^{\triangledown}$，其中 $\widetilde{\mathcal{I}}'$ 是乘积 $\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$。
• 证明单群 $M_n(\mathbb{T})$ 是 E-稠密的，且伪逆满足类似于半群理论中格林关系的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个广义的热带半环，使其在保留热带代数几何意义的同时，允许非幂等加法运算，以支持更丰富的代数结构？
• RQ2 在热带设定下，矩阵正则性的概念是否精确对应于伪可逆性，如同经典线性代数中一样？
• RQ3 能否推导出一个热带矩阵伪逆的显式公式，使其类似于经典的伴随矩阵除以行列式的公式？
• RQ4 扩展热带半环上的矩阵代数性质如何通过同态 $\pi$ 与标准热带半环上的矩阵性质相关联？
• RQ5 对偶副本 $\mathbb{R}^\nu$ 在编码重数和实现热带代数集定义中起到什么作用？

主要发现

• 一个热带矩阵 $\mathcal{A}$ 是伪可逆的，当且仅当它是热带正则的，这在该框架中建立了代数正则性与可逆性之间的基本等价关系。
• 正则矩阵 $\mathcal{A}$ 的伪逆 $\mathcal{A}^{\triangledown}$ 显式给出为 $\text{Adj}(\mathcal{A}^2) / |\mathcal{A}^2|$，计算得 $\mathcal{A}^{\triangledown} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}(-9)^\nu$，当 $\mathcal{A}^2 = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ 时，表明 $ (\mathcal{A}^{\triangledown})^2 \neq (\mathcal{A}\mathcal{A})^{\triangledown} $。
• $\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$ 和 $\mathcal{A}^{\triangledown} \mathcal{A}$ 是幂等矩阵，确认了单群 $M_n(\mathbb{T})$ 的 E-稠密性。
• 同态 $\pi_*$ 将伪逆关系映射到经典设定：$\pi_*(\widetilde{\mathcal{I}}' \mathcal{A}) = \mathcal{A}$ 且 $\pi_*(\mathcal{A}^{\triangledown} \widetilde{\mathcal{I}}') = \mathcal{A}^{\triangledown}$，其中 $\widetilde{\mathcal{I}}' = \mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown}$。
• 对于矩阵 $\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$，其伪逆为 $\mathcal{A}^{\triangledown} = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$，且 $\mathcal{A} \mathcal{A}^{\triangledown} = \begin{pmatrix} 0 & (-2)^\nu \\ 1^\nu & 0 \end{pmatrix}$，展示了 $\mathbb{R}^\nu$ 在编码重数中的作用。
• 该框架通过 $\oplus$ 运算中编码的加法重数，支持了对热带代数集的自然定义，丰富了热带簇的几何解释。