[论文解读] Boosting an analogue of Jordan's theorem for finite groups

Ignasi Mundet i Riera, Alexandre Turull|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文在有限群类满足对子群封闭且对阶数被至多两个素数整除的群存在此类界限的前提下，通过有限单群分类定理（CFSG）证明了该类群中阿贝尔子群的指数存在统一有界性。若对2-素数阶群存在此类界限，则可统一推广至整个类，从而得到一个具有固定生成元数的全局Jordan型界限。

ABSTRACT

Let $\mathcal C$ be a set of finite groups which is closed under taking subgroups and let $d$ and $M$ be positive integers. Suppose that for any $G\in\mathcal C$ whose order is divisible by at most two distinct primes there exists an abelian subgroup $A\subseteq G$ such that $A$ is generated by at most $d$ elements and $[G : A] \le M$. We prove that there exists a positive constant $C_0$ such that any $G \in \mathcal C$ has an abelian subgroup $A$ satisfying $[G : A] \le C_0$, and $A$ can be generated by at most $d$ elements. We also prove some related results. Our proofs use the Classification of Finite Simple Groups.

研究动机与目标

• 建立一个对子群封闭的有限群类中阿贝尔子群指数的统一有界性。
• 将仅对阶数被至多两个不同素数整除的群有效的局部界限，推广至整个类的全局界限。
• 证明若对2-素数阶群存在此类界限，则对类中所有群存在统一有界性，且生成元数固定。
• 利用有限单群分类定理（CFSG）控制类中群的结构，推导出合成因子与拟单群的有限性条件。

提出的方法

• 假设一个有限群类 $\mathcal{C}$ 对子群封闭，且对 $\mathcal{C}$ 中阶数被至多两个素数整除的群，存在指数 $\leq M$ 且由 $\leq d$ 个元素生成的阿贝尔子群。
• 通过层 $E(G)$ 和中心化子 $C_G(E(G))$ 的结构分解 $G$ 为一个中心积，包含一个可解部分。
• 应用引理3.3，利用可解情形和推论3.4，对层的中心化子中阿贝尔子群的指数进行有界。
• 通过Frobenius群论证和对补群阶数的有界性，证明可能的非阿贝尔合成因子集合是有限的。
• 利用Schur表示群对 $\mathcal{C}$ 中拟单群的阶数进行有界，依赖于此类单群集合的有限性。
• 将层大小的有界性与中心化子指数的有界性结合，导出全局界限 $C_0 = C_5! \cdot C_2$，其中 $C_5$ 有界 $|E(G)|$，$C_2$ 有界中心化子中的指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 若对阶数被至多两个素数整除的群已知阿贝尔子群指数有界，能否在对子群封闭的有限群类中建立阿贝尔子群指数的统一有界性？
• RQ2 为确保此类统一有界性，对群类的结构约束是什么？其与有限单群分类定理有何关联？
• RQ3 在2-素数情形下，若阿贝尔子群的生成元数有统一有界性，则其在全局上的行为如何？
• RQ4 在给定假设下，能否保证层 $E(G)$ 的可能合成因子集合是有限的？
• RQ5 在初始参数 $d$ 和 $M$ 的表达下，阿贝尔子群指数的有效界限 $C_0$ 是什么？

主要发现

• 存在一个正常数 $C_0$，使得对任意 $G \in \mathcal{C}$，存在一个阿贝尔子群 $A$ 满足 $[G:A] \leq C_0$ 且 $A$ 由至多 $d$ 个元素生成。
• 常数 $C_0$ 显式有界于 $C_5! \cdot C_2$，其中 $C_5$ 有界 $|E(G)|$，$C_2$ 有界层中心化子中的指数。
• 非阿贝尔合成因子 $E(G)/Z(E(G))$ 的集合是有限的，其大小至多为 $d + M$，这是由2-生成元情形下阿贝尔子群有界性所决定的。
• $\mathcal{C}$ 中拟单群的集合是有限的，且其阶数被统一有界于 $C_3$，该值由有限个单群的Schur表示群导出。
• $E(G)/Z(E(G))$ 中的合成因子个数被有界于 $d + M$，这源于：由 $n$ 个元素生成的阿贝尔2-子群不能有阶大于 $C_2$ 的Frobenius商群。
• 证明的关键依赖于有限单群分类定理，以确保相关单群集合的有限性，并控制 $\mathcal{C}$ 中拟单群与可解群的结构。