[论文解读] Jordan groups and automorphism groups of algebraic varieties

Vladimir L. Popov|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文研究代数簇自同构群与双有理自同构群中的Jordan群，证明此类群均为Jordan群——即所有有限子群均包含有有界指数的正规阿贝尔子群。主要贡献在于证明了非线性的平面Cremona群 $\mathrm{Cr}_2$ 仍是Jordan群，并构造了非线性Jordan群的例子，包括Tarski怪物群及某些指数 $n\geqslant 665$ 的无限群，这些群虽非线性，但仍是Jordan群，且Jordan常数为1。

ABSTRACT

This is the expanded version of my talk at the workshop "Groups of Automorphisms in Birational and Affine Geometry", October 29--November 3, 2012, Levico Terme, Italy. The first section is focused on Jordan groups in abstract setting, the second on that in the settings of automorphisms groups and groups of birational self-maps of algebraic varieties. The appendix is the expanded version of my notes on open problems posted on the site of this workshop. It contains formulations of some open problems and the relevant comments.

研究动机与目标

• 建立代数簇自同构群与双有理自同构群的Jordan性质，其定义域为特征零的代数闭域。
• 探究非线性群（特别是Cremona群与有限指数的无限群）是否仍具有Jordan性质。
• 通过有界正规阿贝尔子群的指数，厘清此类群中有限子群的结构。
• 探讨群作用于簇与Jordan性质之间的关系，特别是通过基变换与诱导作用。
• 提出并分析关于不可压缩有限子群与Cremona群中子群共轭性的开放问题。

提出的方法

• 使用Jordan群的定义：每个有限子群均包含一个正规阿贝尔子群，其指数至多为 $d$，其中 $d = J_G$ 为Jordan常数。
• 应用经典结果，如 $\mathrm{GL}_n(k)$ 上的Jordan定理，以及利用有限单群分类对 $J_{\mathrm{GL}_n(k)}$ 的Collins分类。
• 运用群论工具：对任意有限子群 $K$，若存在正规子群 $N \subseteq K$ 满足 $[K:N] \leqslant [K:Q]!$，则Jordan性质在弱化正规性下仍保持。
• 分析群在簇上的作用，特别是忠实作用于光滑射影曲线及其在不动点处的切空间，以构造嵌入到 $\mathrm{Cr}_n$ 的映射。
• 使用基变换构造，关联 $\mathrm{Cr}_n$ 的子群；证明可通过非平凡基变换从一个子群诱导出另一个子群，如Weyl群由 $\mathrm{SL}_{n+1}$ 诱导而来。
• 应用代数几何结果，如Hurwitz公式与上同调约束，排除某些群作用并证明子群的非共轭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面Cremona群 $\mathrm{Cr}_2$ 尽管非线性，是否仍为Jordan群？
• RQ2 像Tarski怪物群或大奇数 $n$ 的Burnside群 $B(d,n)$ 这类无限非线性群是否仍为Jordan群？
• RQ3 在何种条件下，$\mathrm{Cr}_n$ 的两个有限子群同构但不共轭？
• RQ4 何时 $\mathrm{Bir}(X)$ 的有限子群为不可压缩，这对其在 $X$ 上的不动点有何含义？
• RQ5 基变换如何影响 $\mathrm{Cr}_n$ 中有限子群的共轭性？一个子群能否由另一个子群诱导而来？

主要发现

• 平面Cremona群 $\mathrm{Cr}_2$ 是Jordan群，且有显式上界：每个有限子群均包含一个秩至多为2的正规阿贝尔子群，其指数整除 $2^{10} \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$。
• 群 $B(d,n) = F_d / F_d^n$ 对于 $d \geqslant 2$ 且奇数 $n \geqslant 665$ 是Jordan群，其Jordan常数 $J_{B(d,n)} = 1$，尽管该群为无限且非线性。
• 对大素数 $p$，Tarski怪物群 $T(p)$ 是Jordan群，且 $J_{T(p)} = 1$，因为其每个有限子群均为循环群。
• 对 $n \geqslant 3$，Weyl群 $\mathrm{Sym}_n$ 以两种不共轭的方式嵌入 $\mathrm{Cr}_n$：一种来自其在极大环面的作用，另一种来自其在李代数上的作用；后者可通过非平凡基变换由前者诱导而来。
• 若 $X$ 为非有理簇，且 $G$ 是 $\mathrm{Aut}(X)$ 的不可压缩有限子群，则 $X^G = \varnothing$，即 $G$ 无不动点。
• 通过Collins的分类，$\mathrm{GL}_n(k)$ 的Jordan常数对所有 $n$ 均已精确确定，其中当 $n \geqslant 71$ 且 $n = 63,65,67,69$ 时，$J_{\mathrm{GL}_n(k)} = (n+1)!$，且对 $n \leqslant 6$ 给出了精确值。