[论文解读] Borcherds products and arithmetic intersection theory on Hilbert modular surfaces

Jan Hendrik Bruinier, José Ignacio Burgos Gil+1 more|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用 8

一句话总结

该论文通过构造算术 Hirzebruch-Zagier 除子并证明其在扩展算术 Chow 环中的生成系列是权为 2 的全纯模形式，建立了希尔伯特模曲面的 Hirzebruch-Zagier 定理的算术类比。关键结果将模形式线丛的算术自相交数与相关实二次域的 Dedekind zeta 函数在 s = -1 处的对数导数相联系，从而将其与 zeta 函数和 Eisenstein 系列的特殊值关联起来。

ABSTRACT

We prove an arithmetic version of a theorem of Hirzebruch and Zagier saying that Hirzebruch-Zagier divisors on a Hilbert modular surface are the coefficients of an elliptic modular form of weight two. Moreover, we determine the arithmetic self-intersection number of the line bundle of modular forms equipped with its Petersson metric on a regular model of a Hilbert modular surface, and study Faltings heights of arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors.

研究动机与目标

• 将经典的 Hirzebruch-Zagier 定理推广到希尔伯特模曲面上的算术设定。
• 计算在希尔伯特模曲面的正规模型上，配备 Petersson 度量的模形式线丛的算术自相交数。
• 确定与边界不相交的算术 Hirzebruch-Zagier 除子的 Faltings 高度。
• 将算术相交数与 Dedekind zeta 函数和 Eisenstein 系列的特殊值联系起来。
• 建立一个使用预对数对数形式与扩展算术 Chow 环的非紧致 Shimura 空间上的算术相交理论框架。

提出的方法

• 作者使用带有预对数对数形式的扩展算术 Chow 环来处理在边界除子上自动形式线丛的奇异度量。
• 他们在该扩展算术 Chow 群中将算术 Hirzebruch-Zagier 除子定义为类，整合了几何与分析数据。
• 这些算术除子的生成系列被证明是权为 2、水平为 N、特征与实二次域 K 相关的全纯模形式，类似于 Hirzebruch 与 Zagier 的上同调结果。
• 模形式线丛的算术自相交数被计算为 Dedekind zeta 函数 ζ_K(s) 在 s = -1 处的对数导数。
• 通过 Green 函数的星积与积分技术，将生成系列与模形式线丛第一算术陈类平方的乘积与 Eisenstein 系列 E(τ) 的倍数联系起来。
• 通过投影公式与某个算术 Chow 序列的正合性，计算算术循环上的高斯配对，从而得到 Faltings 高度的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特模曲面上上同调类的 Hirzebruch-Zagier 生成系列的算术类比是什么？
• RQ2 在边界上存在奇异度量的情况下，如何计算模形式线丛的算术自相交数？
• RQ3 与边界除子不相交的算术 Hirzebruch-Zagier 除子的 Faltings 高度是多少？
• RQ4 算术相交数如何与 Dedekind zeta 函数和 Eisenstein 系列的特殊值相关？
• RQ5 带有预对数对数形式的扩展算术 Chow 环能否为非紧致希尔伯特模曲面上的相交理论提供一致的框架？

主要发现

• 在扩展算术 Chow 群中，算术 Hirzebruch-Zagier 除子的生成系列是权为 2、水平为 N、特征与实二次域 K 相关的全纯模形式。
• 配备 Petersson 度量的模形式线丛的算术自相交数等于 k²/2 乘以 Dedekind zeta 函数 ζ_K(s) 在 s = -1 处的对数导数，再乘以 zeta 函数与 L 函数的组合。
• 算术生成系列与模形式线丛第一算术陈类平方的乘积等于 Eisenstein 系列 E(τ) 的倍数，比例系数即为算术自相交数。
• 对于与边界不相交的非迷向 Hirzebruch-Zagier 除子，其 Faltings 高度由一个公式给出，涉及除子的体积、zeta 函数 ζ(s) 在 s = -1 处的对数导数以及在 s = -1 处的扭 L 函数 σ_m(s)。
• 结果为若干深刻猜想提供了算术证据，包括 Kramer、Kudla 与 Maillot-Roessler 的猜想，这些猜想涉及算术体积与 L 函数的特殊值。
• 该框架与希尔伯特模曲面堆栈的猜想算术 Chow 环一致，因为算术度数与高斯配对与有限水平模型中的结果相符。