[论文解读] Bordered Floer homology for sutured manifolds

Rumen Zarev|ArXiv.org|Aug 7, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 42

一句话总结

本文引入了边界缝合流形作为统一框架，推广了缝合3-流形与边界3-流形，将边界弗洛尔同调扩展以定义这些对象的不变量。它建立了一个从带装饰的缝合cobordism范畴到$\mathcal{A}_{\infty}$-代数与双模的函子，使得sutured弗洛尔同调$\text{SFH}(Y,\Gamma)$可从$\widehat{\text{CFA}}(Y)$或$\widehat{\text{CFD}}(Y)$恢复，并为Juhász的曲面分解公式提供了新证明。

ABSTRACT

We define a sutured cobordism category of surfaces with boundary and 3-manifolds with corners. In this category a sutured 3-manifold is regarded as a morphism from the empty surface to itself. In the process we define a new class of geometric objects, called bordered sutured manifolds, that generalize both sutured 3-manifolds and bordered 3-manifolds. We extend the definition of bordered Floer homology to these objects, giving a functor from a decorated version of the sutured category to A-infinity algebras, and A-infinity bimodules. As an application we give a way to recover the sutured homology SFH(Y,Gamma) of a sutured manifold from either of the bordered invariants CFA(Y) and CFD(Y) of its underlying manifold Y. A further application is a new proof of the surface decomposition formula of Juhasz.

研究动机与目标

• 通过引入一个共同的推广，统一缝合弗洛尔同调与边界弗洛尔同调。
• 定义一类新的几何对象——边界缝合流形，其推广了缝合与边界3-流形。
• 从带装饰的缝合cobordism范畴构造一个到$\mathcal{A}_{\infty}$-代数与双模的函子。
• 证明sutured弗洛尔同调$\text{SFH}(Y,\Gamma)$可从$\widehat{\text{CFA}}(Y)$或$\widehat{\text{CFD}}(Y)$恢复。
• 使用新框架为Juhász的曲面分解公式提供新证明。

提出的方法

• 定义带有边界和带角3-流形的曲面的缝合cobordism范畴，其中缝合流形是从空曲面到自身的态射。
• 将边界缝合流形引入为缝合与边界3-流形的推广，结合边界参数化与缝合结构。
• 将边界弗洛尔同调扩展，为边界缝合流形分配$\mathcal{A}_{\infty}$-模（$\widehat{\text{CFA}}$）与$\mathcal{A}_{\infty}$-双模（$\widehat{\text{BSDA}}$）。
• 使用良好的Heegaard图与全纯曲线模空间定义不变量，格拉斯结构基于Reeb弦与自旋^c结构。
• 应用$\mathcal{A}_{\infty}$-双模的配对定理，将粘合流形的不变量与各组成部分的不变量关联。
• 通过证明分解流形的$\widehat{\text{BSD}}$不变量同构于所有向外指向分解曲面$S$的自旋^c结构上的$\widehat{\text{BSD}}$不变量的直和，来证明曲面分解公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从同一3-流形的边界弗洛尔不变量恢复缝合弗洛尔同调？
• RQ2 如何将边界弗洛尔同调扩展以包含边界上的缝合结构？
• RQ3 3-流形的$\widehat{\text{CFA}}$与$\widehat{\text{CFD}}$不变量与其缝合弗洛尔同调之间有何关系？
• RQ4 能否使用统一的边界-缝合框架重新推导Juhász的曲面分解公式？
• RQ5 边界缝合流形的$\mathcal{A}_{\infty}$-双模不变量的结构是什么，其在粘合下如何表现？

主要发现

• 对于边界连通的3-流形，其缝合弗洛尔同调$\text{SFH}(Y,\Gamma)$可从$\widehat{\text{CFA}}(Y)$或$\widehat{\text{CFD}}(Y)$恢复，建立了边界与缝合弗洛尔同调之间的桥梁。
• 边界缝合流形$Y$的$\widehat{\text{BSD}}$不变量同构于所有向外指向分解曲面$S$的自旋^c结构上的$\widehat{\text{BSD}}$不变量的直和。
• 分解流形的$\widehat{\text{BSA}}$不变量同构于所有向外指向$S$的自旋^c结构上的$\widehat{\text{BSA}}$不变量的直和。
• 新框架通过双模配对与良好图中全纯曲线的结构，为Juhász的曲面分解公式提供了新证明。
• 对于特定缝合结构的乘积流形$P = F \times [0,1]$，其$\widehat{\text{BSD}}$不变量具有唯一生成元且微分平凡，同构于上自旋^c结构下环面$T$的$\widehat{\text{BSD}}$不变量。
• 对于$\mathcal{A}_{\infty}$-双模的配对定理确保了粘合流形的缝合弗洛尔同调同构于相应不变量张量积的同调。