[论文解读] Both Toffoli and Controlled-NOT need little help to do universal quantum computation

Yaoyun Shi|ArXiv.org|May 18, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 90

一句话总结

本文证明，若某个单量子比特实门不等价于Hadamard门或其变体，则该门与Toffoli门组合即可实现量子计算的通用性，前提是该门不保持计算基。结果表明，仅需不保持计算基的单量子比特实门（排除Hadamard类门）与Toffoli或CNOT组合，即可实现通用性，从而解决了关于实现通用量子计算所需最小量子资源的根本性问题。

ABSTRACT

What additional gates are needed for a set of classical universal gates to do universal quantum computation? We answer this question by proving that any single-qubit real gate suffices, except those that preserve the computational basis. The result of Gottesman and Knill[quant-ph/9807006] implies that any quantum circuit involving only the Controlled-NOT and Hadamard gates can be efficiently simulated by a classical circuit. In contrast, we prove that Controlled-NOT plus any single-qubit real gate that does not preserve the computational basis and is not Hadamard (or its alike) are universal for quantum computing. Previously only a ``generic'' gate, namely a rotation by an angle incommensurate with pi, is known to be sufficient in both problems, if only one single-qubit gate is added.

研究动机与目标

• 确定从Toffoli或CNOT等经典通用门出发时，实现通用量子计算所需的最小额外量子门集合。
• 识别出当与Toffoli或CNOT组合时，哪些单量子比特实门足以实现通用性，特别关注不保持计算基的门。
• 通过证明任意基变换实门均足以实现通用性，解决关于是否存在除Hadamard外其他通用门类型（如非有理角旋转）的开放问题。
• 提供一种直接的、非依赖Kitaev-Solovay定理的通用性证明，给出一种更简洁但多项式规模的近似电路。

提出的方法

• 证明任意不保持计算基的单量子比特实门（即基变换门）与Toffoli门组合即可实现通用性。
• 采用构造性电路综合方法，仅使用Toffoli门和基变换单量子比特门来近似任意实单量子比特门，避免依赖Kitaev-Solovay定理。
• 通过Grover类迭代和辅助量子比特实现受控相位翻转的近似，以高精度模拟受控-Z操作。
• 引入一个子电路，利用辅助量子比特和受控操作实现单量子比特门的条件应用，从而精确模拟非Clifford门。
• 分析多次近似中的误差传播，基于所需精度设定辅助量子比特数量和电路规模的边界。
• 建立总误差为O(γ)，其中γ = cos²k₁θ，通过令γ ≈ ε实现精度ε，从而在δθ和ε的参数下控制资源规模。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些单量子比特实门与Toffoli门组合可实现通用量子计算？
• RQ2 在CNOT基电路中，Hadamard门是否是唯一不与CNOT组合实现通用性的基变换单量子比特门例外？
• RQ3 是否可使用非通用门（如有理角旋转）而非仅无理角旋转来实现通用性？
• RQ4 能否通过非Kitaev-Solovay定理的直接构造，实现多项式门数规模的高效通用近似？
• RQ5 使用Toffoli门和基变换门近似任意实单量子比特门时，所需辅助量子比特数和电路规模的精确缩放关系为何？

主要发现

• Toffoli门与任意不保持计算基的单量子比特实门组合可实现通用量子计算，前提是该门不等价于Hadamard门或其变体。
• CNOT与任意单量子比特实门T组合可实现通用性，当且仅当T²不保持计算基，且此类门是替换CNOT基电路中Hadamard门时唯一不实现通用性的例外。
• 提供了一种直接的通用近似构造，使用O(δθ · ε⁻¹ · log ε⁻¹)个门和O(δθ · log ε⁻¹)个辅助量子比特实现精度ε，其中δθ衡量门偏离保持计算基的程度。
• 该构造避免使用Kitaev-Solovay定理，转而采用迭代Grover类放大和共享辅助量子比特的受控相位翻转模拟。
• 近似总误差被限制在O(γ)，其中γ = cos²k₁θ，通过令γ ≈ ε可确保所需精度，并实现资源规模的可控缩放。
• 结果表明，当使用完整基时，任意实正交门可使用多项式对数规模（polylogarithmic）在ε⁻¹的门数近似到精度ε，但本研究的直接构造给出的是ε⁻¹的多项式缩放。