[论文解读] Bound-preserving convex limiting for high-order Runge-Kutta time discretizations of hyperbolic conservation laws

Dmitri Kuzmin, Manuel Quezada de Luna+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Navier-Stokes equation solutions被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对双曲守恒律高阶Runge-Kutta时间格式的保界凸限制技术，确保数值解保持在物理边界内，同时保持高阶精度。该方法通过候选重构的凸组合来强制实现边界约束，实现稳定性和高分辨率，且不引入过多数值耗散。

ABSTRACT

The work of Dmitri Kuzmin and Johanna Grull was supported by the German Research Association (DFG) under grant KU 1530/23-1. The work of Manuel Quezada de Luna and David I. Ketcheson was funded by King Abdullah University of Science and Technology (KAUST) in Thuwal, Saudi Arabia.

研究动机与目标

• 开发一种高阶时间格式方法，使双曲守恒律中的物理边界得以保持，且不引入过多数值耗散。
• 解决在双曲系统高阶Runge-Kutta格式中确保解边界（如正性、物理量边界）的挑战。
• 在每个时间步应用凸限制策略，同时保持高阶精度并强制实现边界约束。
• 将现有的斜率限制技术扩展至时间推进的Runge-Kutta格式，确保边界约束的保证。

提出的方法

• 在Runge-Kutta时间积分的每个阶段应用凸限制策略，以强制实现解的边界约束。
• 在每个阶段计算候选重构，并选择这些重构的凸组合以满足边界约束，同时保持高阶精度。
• 该方法采用线性规划方法确定最优凸权重，以保持边界并最小化截断误差。
• 限制过程在Runge-Kutta格式的每个阶段独立应用，确保中间阶段也保持在物理边界内。
• 该方法被设计为与有限体积法和间断伽辽金法兼容，从而可应用于一大类双曲问题。
• 通过在满足边界约束的前提下最小化与原始高阶重构的偏差，该方法保持了高阶精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使高阶Runge-Kutta时间格式在双曲守恒律中实现保界，同时不牺牲精度？
• RQ2 何种最优凸组合候选重构可在最小化数值耗散的同时保持边界？
• RQ3 保界限制能否在Runge-Kutta格式的每个阶段有效应用，而不降低时间精度？
• RQ4 与传统斜率限制器相比，该方法在双曲问题的解质量与稳定性方面表现如何？

主要发现

• 所提出的凸限制技术在双曲守恒律的高阶Runge-Kutta格式中成功实现了物理边界的保持。
• 该方法在光滑区域保持高阶精度，同时在间断附近防止了非物理振荡。
• 通过凸组合的使用，与传统限制器相比，该限制过程未引入过多数值耗散。
• 该方法在各类测试问题中表现出鲁棒性，包括标量守恒律和Euler方程等系统。
• 线性规划公式使得在每个时间阶段高效计算凸权重成为可能。
• 数值结果表明，该方法在光滑区域未降低精度阶次的情况下实现了边界保持。