[论文解读] Entropy stabilization and property-preserving limiters for discontinuous Galerkin discretizations of nonlinear hyperbolic equations

Dmitri Kuzmin|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文提出了一种统一框架，将熵稳定化与属性保持限制器结合用于非线性双曲守恒律的间断伽辽金（DG）方法。通过在泰勒基表示中集成Rusanov型熵黏性，并结合基于顶点的梯度限制，该方法确保了熵稳定、局部最大值原理保持以及标量和非凸通量问题中的有界性行为，实现了高分辨率、无振荡的解，且不违反物理边界。

ABSTRACT

The methodology proposed in this paper bridges the gap between entropy stable and positivity-preserving discontinuous Galerkin (DG) methods for nonlinear hyperbolic problems. The entropy stability property and, optionally, preservation of local bounds for the cell averages are enforced using flux limiters based on entropy conditions and discrete maximum principles, respectively. Entropy production by the (limited) gradients of the piecewise-linear DG approximation is constrained using Rusanov-type entropy viscosity, as proposed by Abgrall in the context of nodal finite element approximations. We cast his algebraic entropy fix into a form suitable for arbitrary polynomial bases and, in particular, for modal DG approaches. The Taylor basis representation of the entropy stabilization term reveals that it penalizes the solution gradients in a manner similar to slope limiting and requires semi-implicit treatment to achieve the desired effect. The implicit Taylor basis version of the Rusanov entropy fix preserves the sparsity pattern of the element mass matrix. Hence, no linear systems need to be solved if the Taylor basis is orthogonal and an explicit treatment of the remaining terms is adopted. The optional application of a vertex-based slope limiter constrains the piecewise-linear DG solution to be bounded by local maxima and minima of the cell averages. The combination of entropy stabilization with flux and slope limiting leads to constrained approximations that possess all desired properties. Numerical studies of the new limiting techniques and entropy correction procedures are performed for two scalar two-dimensional test problems with nonlinear and nonconvex flux functions.

研究动机与目标

• 弥合非线性双曲问题中熵稳定与正性保持DG格式之间的差距。
• 通过通量限制和梯度限制，同时实现熵稳定和局部有界性保持。
• 开发一种稳定、高阶的DG离散化方法，避免在激波区域出现欠冲、过冲和熵违反行为。
• 将Abgrall的熵黏性方法推广至任意多项式基，特别是模态DG中的泰勒基。
• 确保所得格式具有鲁棒性、守恒性，并适用于标量和系统级双曲问题。

提出的方法

• 将Rusanov型熵黏性项以泰勒基表示，以类似于梯度限制的方式惩罚解的梯度。
• 采用半隐式处理熵稳定化项，以维持熵不等式并保持质量矩阵的稀疏性。
• 实施基于顶点的梯度限制器，将DG解限制在由局部单元平均极值定义的边界内。
• 结合基于熵条件的通量限制与基于离散最大值原理的梯度限制，以同时实现熵稳定和有界性保持。
• 对非隐式项采用显式处理，对熵校正项采用隐式处理，以保持效率和稳定性。
• 采用Runge-Kutta时间积分格式，以保持熵稳定并支持自适应耗散控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 熵稳定化与属性保持限制器能否在单一DG框架中结合，以同时实现熵稳定和有界性保持？
• RQ2 Abgrall的熵黏性方法如何推广至具有任意多项式基（特别是泰勒基）的模态DG？
• RQ3 所提出的通量限制器在非线性、非凸通量问题中，能在多大程度上确保熵不等式和局部最大值原理的满足？
• RQ4 熵稳定化与梯度限制的结合对标量双曲问题中激波和光滑区域的分辨率有何影响？
• RQ5 所得格式能否在防止虚假振荡和熵违反解的同时保持高阶精度？

主要发现

• 采用通量和梯度限制的熵稳定DG1格式（ES1S）产生的解既满足熵稳定，又保持在[0,1]范围内，Buckley-Leverett算例中单元平均值被限制在[0.0, 0.997]之间。
• 未采用通量限制的DG1格式表现出强烈的欠冲和过冲，取值范围为-0.354至1.451，表明存在熵违反行为。
• 在h=1/128条件下，KPP问题的ES1S解无欠冲或过冲，准确捕捉了旋转波结构，即使在激波区域亦然。
• 熵稳定化的ES1S方法减少了熵产生，避免了虚假振荡，在有界性保持方面优于标准DG1和熵稳定ES1。
• 当采用正交泰勒基时，该方法保持了质量矩阵的稀疏结构，从而实现高效求解而无需求解线性系统。
• 数值结果证实，通量限制与梯度限制的结合确保了熵稳定和局部最大值原理的满足，如定理2所证明。