[论文解读] Boundary depth in Floer theory and its applications to Hamiltonian dynamics and coisotropic submanifolds

Michael Usher|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文引入了一种新的弗洛尔理论不变量——边界深度（boundary depth），用于度量哈密顿弗洛尔同调中边界项的过滤行为。研究证明，具有正边界深度的非退化哈密顿量具有无穷多个几何上互异的周期点，并确立了共厄子流形（特别是接触型或斯坦流形中稳定的共厄子流形）具有正位移能，显著扩展了已知的此类子流形类别。

ABSTRACT

We assign to each nondegenerate Hamiltonian on a closed symplectic manifold a Floer-theoretic quantity called its "boundary depth," and establish basic results about how the boundary depths of different Hamiltonians are related. As applications, we prove that certain Hamiltonian symplectomorphisms supported in displaceable subsets have infinitely many nontrivial geometrically distinct periodic points, and we also significantly expand the class of coisotropic submanifolds which are known to have positive displacement energy. For instance, any coisotropic submanifold of contact type (in the sense of Bolle) in any closed symplectic manifold has positive displacement energy, as does any stable coisotropic submanifold of a Stein manifold. We also show that any stable coisotropic submanifold admits a Riemannian metric that makes its characteristic foliation totally geodesic, and that this latter, weaker, condition is enough to imply positive displacement energy under certain topological hypotheses.

研究动机与目标

• 在哈密顿弗洛尔同调中定义并研究一种新的不变量——边界深度，以捕捉链边界项的过滤性质。
• 证明边界深度是有限的，并在哈密顿扰动下满足关键的稳定性与连续性性质。
• 将边界深度应用于证明：在可位移子集内支持的哈密顿对称微分同胚，若具有正边界深度，则存在无穷多个几何上互异的周期点。
• 扩展具有正位移能的共厄子流形类别，包括接触型子流形以及斯坦流形中的稳定共厄子流形。
• 证明稳定共厄子流形可赋予黎曼度量，使其特征叶状结构为全测地，且在拓扑约束下，此几何条件可推出正位移能。

提出的方法

• 将边界深度 β(H) 定义为满足如下条件的最小 β ≥ 0：任何在 CF_*(H,J) 中的链若为边界，则其为过滤层级至多高 β 的链的边界。
• 证明 β(H) 与几乎复结构 J 无关，并满足 |β(H) - β(K)| ≤ ||H - K|| 以及 β(H) ≤ ||H||，其中 H, K 为非退化哈密顿量。
• 通过几何与代数论证证明 β(H) 有限，利用谱不变量与过滤链同伦理论。
• 将边界深度应用于周期轨道分析，通过将链的过滤性质与哈密顿流及其在辛纤维丛上的提升的几何性质相联系。
• 利用 Cartan–Hadamard 定理与测地流性质，证明共厄子流形中非同伦平凡的闭测地线蕴含正位移能。
• 通过将闭辛流形中的结果推广至斯坦流形，利用辛嵌入到闭流形中，保持位移能的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的弗洛尔理论不变量，以检测哈密顿弗洛尔同调中边界项的非平凡过滤行为？
• RQ2 正边界深度是否蕴含哈密顿对称微分同胚存在无穷多个几何上互异的周期点？
• RQ3 辛流形中的哪些共厄子流形具有正位移能？能否通过几何或拓扑条件加以确立？
• RQ4 当共厄子流形的特征叶状结构为全测地时，在适当的拓扑假设下，是否可推出正位移能？
• RQ5 斯坦流形中稳定共厄子流形是否具有正位移能？该结论能否从闭流形推广至非紧辛流形？

主要发现

• 边界深度 β(H) 有限，且对非退化哈密顿量 H 和 K 满足 Lipschitz 型不等式 |β(H) - β(K)| ≤ ||H - K||。
• 任何在可位移子集内支持且具有正边界深度的哈密顿对称微分同胚，均具有无穷多个几何上互异的周期点。
• 闭辛流形中任意接触型共厄子流形均具有正位移能。
• 斯坦流形中任意稳定共厄子流形均具有正位移能，原因在于 ω|_N 在 π₂(N) 上的精确性。
• 稳定共厄子流形可赋予黎曼度量，使其特征叶状结构为全测地，且当 π₂(N) = 0 时，此条件可推出正位移能。
• 对于在球面上具有离散辛面积谱的稳定共厄子流形，存在仅依赖于管状邻域的统一正下界 c > 0，作为位移能的下界。