[论文解读] Coisotropic Submanifolds, Leafwise Fixed Points, and Presymplectic Embeddings

Fabian Ziltener|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文在几何有界辛流形的闭正则共厄子流形上，对靠近恒等映射的哈密顿微分同胚，建立了其叶向不动点数的下界。通过弗洛尔理论技巧与到拉格朗日子流形的约化，证明了此类不动点的数量至少为该子流形的 $β_2$-贝蒂数之和，推广了切克诺夫对拉格朗日子流形的结果，并支持了共厄子流形版本的阿诺德-吉文塔尔猜想。

ABSTRACT

Let $(M,ω)$ be a geometrically bounded symplectic manifold, $N\subseteq M$ a closed, regular (i.e. "fibering") coisotropic submanifold, and $ϕ:M o M$ a Hamiltonian diffeomorphism. The main result of this article is that the number of leafwise fixed points of $ϕ$ is bounded below by the sum of the $Z_2$-Betti numbers of $N$, provided that the Hofer distance between $ϕ$ and the identity is small enough and the pair $(N,ϕ)$ is non-degenerate. The bound is optimal if there exists a $Z_2$-perfect Morse function on $N$. A version of the Arnol'd-Givental conjecture for coisotropic submanifolds is also discussed. As an application, I prove a presymplectic non-embedding result.

研究动机与目标

• 建立靠近恒等映射的哈密顿微分同胚在共厄子流形上的叶向不动点数的下界。
• 将切克诺夫对拉格朗日子流形的结果推广至更广泛的共厄子流形类。
• 利用拓扑不变量提出并支持共厄子流形版本的阿诺德-吉文塔尔猜想。
• 利用主定理证明一个预辛嵌入非存在性结果。
• 在子流形上存在 $\mathbb{Z}_2$-完美莫尔斯函数的条件下，证明该下界的最优性。

提出的方法

• 通过辛约化与同伦纤维丛结构，将共厄子流形问题约化为拉格朗日子流形情形。
• 使用霍弗距离 $d(\varphi, \mathrm{id}) < C$ 作为控制参数，其中 $C$ 依赖于三元组 $(M,\omega,N)$ 的最小面积 $A(M,\omega,N)$。
• 应用 $\mathbb{Z}_2$-系数上同调，计算贝蒂数之和 $\sum_{i=0}^{\dim N} b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ 作为下界。
• 对对 $(N, \varphi)$ 施加非退化条件，以确保横截性并避免退化不动点集。
• 在局部坐标图中使用紧支集向量场与 $L^1$-范数估计，控制流并证明位移控制的关键技术引理。
• 通过在 exhaustion 序列上上确界函数的博雷尔可测性，确立霍弗半范数的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当哈密顿微分同胚 $\varphi$ 足够接近恒等映射时，其在共厄子流形 $N$ 上的叶向不动点的最小数量是多少？
• RQ2 能否利用贝蒂数等拓扑不变量，将阿诺德-吉文塔尔猜想推广至共厄子流形？
• RQ3 在适当条件下，对叶向不动点数的下界 $\sum b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ 是否是最优的？
• RQ4 霍弗距离阈值 $C$ 的最优值是多少，它与最小面积 $A(M,\omega,N)$ 有何关系？
• RQ5 该结果能否用于推导预辛几何中的非嵌入定理？

主要发现

• 若满足 $d(\varphi, \mathrm{id}) < C$ 且 $(N, \varphi)$ 非退化，则叶向不动点数 $|\mathrm{Fix}(\varphi, N)|$ 的下界为 $\sum_{i=0}^{\dim N} b_i(N, \mathbb{Z}_2)$。
• 若子流形 $N$ 上存在 $\mathbb{Z}_2$-完美莫尔斯函数，则该下界是最优的，如施蒂费尔流形例子 $V(k,n)$ 所示。
• 对于 $M = \mathbb{C}^{k \times n}$ 配备标准辛形式 $\omega_0$，$N = V(k,n)$，且 $d(\varphi, \mathrm{id}) < \pi$ 时，该下界给出 $|\mathrm{Fix}(\varphi, V(k,n))| \geq 2^k$，且该结果是最优的。
• 最小面积 $A(\mathbb{C}^{k \times n}, \omega_0, V(k,n)) = \pi$，且条件 $C \geq A(M,\omega,N)$ 是最优的：若 $C$ 超过 $\pi$，则结论不再成立。
• 该结果推广了切克诺夫对拉格朗日子流形的定理，并首次在 $\mathrm{codim} N \notin \{0,1,\dim M/2\}$ 且无需 $C^1$-接近性条件下，为共厄子流形建立了此类下界。
• 作为应用，推导出一个预辛非嵌入结果，表明在霍弗范数约束下，某些共厄子流形嵌入不可能存在。