[论文解读] Boundary input-to-state stabilization of a damped Euler-Bernoulli beam in the presence of a state-delay

Hugo Lhachemi, Robert Shorten|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于有限维截断与LMI分析的边界输入-状态稳定化设计，用于具有时变状态时滞的阻尼Euler-Bernoulli梁。该方法建立了具有记忆衰减特性的指数输入-状态稳定性，适用于分布扰动与边界扰动，确保在时滞状态反馈及扰动下具有鲁棒性。

ABSTRACT

This paper is concerned with the point torque boundary feedback stabilization of a damped Euler-Bernoulli beam model in the presence of a time-varying state-delay. First, a finite-dimensional truncated model is derived by spectral reduction. Then, for a given stabilizing state-feedback of the delay-free truncated model, an LMI-based sufficient condition on the maximum amplitude of the state-delay is employed to guarantee the stability of the closed-loop state-delayed truncated model. Second, we assess the exponential stability of the resulting closed-loop infinite-dimensional system under the assumption that the number of modes of the original infinite-dimensional system captured by the truncated model has been selected large enough. Finally, we consider in our control design the possible presence of a distributed perturbation, as well as additive boundary perturbations in the control inputs. In this case, we derive for the closed-loop system an exponential input-to-state estimate with fading memory of the distributed and boundary disturbances.

研究动机与目标

• 解决在时变状态时滞与外部扰动下，开环不稳定Euler-Bernoulli梁的稳定化挑战。
• 将输入-状态稳定性（ISS）理论扩展至具有状态时滞与边界扰动的无限维边界控制系统。
• 设计一种点力矩边界反馈律，确保对分布扰动与边界扰动均具有指数ISS与记忆衰减特性。
• 通过将有限维控制器综合方法应用于具有状态时滞的梁方程（一类研究较少的PDE），弥合现有文献的空白。
• 在实际条件下验证控制设计的鲁棒性，包括时滞状态反馈与附加扰动。

提出的方法

• 通过谱降阶方法推导Euler-Bernoulli梁的有限维截断模型，捕捉主导不稳定模态。
• 针对最大时滞幅值，应用基于LMI的充分条件，以确保闭环截断系统的稳定性。
• 采用李雅普诺夫泛函方法，评估当截断模型捕获足够多模态时，无限维闭环系统的指数稳定性。
• 将附加的分布扰动与边界扰动纳入控制设计，并推导具有记忆衰减特性的指数ISS估计。
• 利用积分估计与涉及时滞历史的范数界，采用符号 $ \mathcal{I} $ 与 $ \|e^{\Lambda_n t}\| \leq e^{-2\eta t} $ 控制瞬态增长。
• 在时滞区间上建立状态范数的递推估计，以证明全局稳定性，最终得出具有记忆衰减特性的ISS估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 边界反馈控制器能否在确保对扰动具有鲁棒性的同时，稳定具有时变状态时滞的阻尼Euler-Bernoulli梁？
• RQ2 在有限维控制设计下，闭环系统保持指数稳定的最大允许时滞幅值是多少？
• RQ3 如何为具有边界控制与状态时滞的无限维系统建立具有记忆衰减特性的输入-状态稳定性？
• RQ4 截断模型中捕获的模态数量在确保无限维系统稳定性方面起什么作用？
• RQ5 分布扰动与边界扰动如何影响系统稳定性？其影响能否在ISS估计中以记忆衰减形式进行有界控制？

主要发现

• 本文建立了闭环系统的指数输入-状态稳定性，具有记忆衰减特性，确保扰动随时间衰减，并依赖于记忆加权。
• 推导出基于LMI的条件，只要时滞幅值低于由系统参数定义的阈值，即可保证状态时滞截断模型的稳定性。
• 最大时滞幅值受条件 $ \xi_2 = 3m_{N_0+1}^2 / (2\eta^2) < 1 $ 约束，以确保递推稳定性估计保持有界。
• 状态范数 $ \|c_n(t)\| $ 受初始条件、延迟状态与扰动项的组合有界，其界依赖于 $ \|\Phi\|_{1,h_M} $、$ \|d_d\| $ 与 $ \|d_b\| $。
• 在长度为 $ h_m $ 的区间上进行递推估计的过程，可导出全局ISS估计（54），经 $ \lceil h_M / h_m \rceil $ 步后得出最终界（46）。
• 最终的ISS估计（46）表明，状态能量受初始历史与扰动范数的衰减指数有界，证实了具有记忆衰减特性的鲁棒性。