[论文解读] Boundary quotients and ideals of Toeplitz C*-algebras of Artin groups

John Crisp, Marcelo Laca|ArXiv.org|Apr 6, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文研究了与右角型Artin群及更一般的拟格序群相关的Toeplitz C*-代数的理想结构与边界商代数。通过将这些代数实现为部分交叉积，并应用可约性与拓扑自由性条件，作者证明了当Artin群的中心平凡时，其边界商代数是纯无穷且单的，并给出了一个推广Cuntz代数$\mathcal{O}_n$的边界商代数的表示，其中理想由生成元的子集参数化。

ABSTRACT

We study the quotients of the Toeplitz C*-algebra of a quasi-lattice ordered group (G,P), which we view as crossed products by a partial actions of G on closed invariant subsets of a totally disconnected compact Hausdorff space, the Nica spectrum of (G,P). Our original motivation and our main examples are drawn from right-angled Artin groups, but many of our results are valid for more general quasi-lattice ordered groups. We show that the Nica spectrum has a unique minimal closed invariant subset, which we call the boundary spectrum, and we define the boundary quotient to be the crossed product of the corresponding restricted partial action. The main technical tools used are the results of Exel, Laca, and Quigg on simplicity and ideal structure of partial crossed products, which depend on amenability and topological freeness of the partial action and its restriction to closed invariant subsets. When there exists a generalised length function, or controlled map, defined on G and taking values in an amenable group, we prove that the partial action is amenable on arbitrary closed invariant subsets. Our main results are obtained for right-angled Artin groups with trivial centre, that is, those with no cyclic direct factor; they include a presentation of the boundary quotient in terms of generators and relations that generalises Cuntz's presentation of O_n, a proof that the boundary quotient is purely infinite and simple, and a parametrisation of the ideals of the Toeplitz C*-algebra in terms of subsets of the standard generators of the Artin group.

研究动机与目标

• 理解与拟格序群（特别是右角型Artin群）相关的Toeplitz C*-代数的理想结构。
• 将边界商代数表征为协变等距表示中适当性条件失败所导致的商代数。
• 通过部分动作的可约性与拓扑自由性，建立边界商代数为纯无穷且单的条件。
• 以生成元与关系的形式提供边界商代数的表示，该表示推广了Cuntz对$\mathcal{O}_n$的表示。
• 通过标准生成元的子集参数化Toeplitz C*-代数的理想，特别针对中心平凡的Artin群。

提出的方法

• 通过Nica谱将Toeplitz C*-代数实现为部分交叉积，其中Nica谱是正锥体$P$的下向、有向子集构成的完全不连通紧致Hausdorff空间。
• 将边界谱识别为Nica谱中唯一的极小闭不变子集，并将边界商代数定义为该子集上受限部分动作的交叉积。
• 应用Exel、Laca与Quigg关于部分交叉积的单性与理想结构结果，依赖于部分动作的可约性与拓扑自由性。
• 证明当存在到可约群的广义长度函数（控制映射）时，部分动作在闭不变子集上的可约性。
• 引入拟格序群的“核心”以表征边界动作的拓扑自由性，这对单性至关重要。
• 利用$\Gamma^{\rm opp}$的有限连通分支的有限子集格来参数化理想，并推导商代数的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于中心平凡的右角型Artin群，其Toeplitz C*-代数的理想结构是什么？如何对其进行参数化？
• RQ2 在何种条件下，Toeplitz C*-代数的边界商代数是纯无穷且单的？
• RQ3 协变等距表示中适当性条件的失效如何与理想与商代数的结构相关联？
• RQ4 边界商代数能否通过推广Cuntz对$\mathcal{O}_n$的表示的生成元与关系来表示？
• RQ5 到可约群的控制映射如何影响Nica谱的不变子集上部分动作的可约性？

主要发现

• 若边界部分动作可约且拓扑自由，则中心平凡的右角型Artin群的Toeplitz C*-代数的边界商代数是纯无穷且单的。
• 边界商代数可通过生成元与关系表示，该表示推广了Cuntz对$\mathcal{O}_n$的表示，关系对应于所有生成元的$1 - V_s V_s^*$的乘积。
• Toeplitz C*-代数的理想由标准生成元的子集参数化，每个理想由一组两两不可比较的有限生成元子集唯一生成。
• Toeplitz C*-代数的极大真理想由对应于$\Gamma^{\rm opp}$的有限连通分支的初等关系$S_\lambda$生成，有限情况下即为单元素集。
• 对于中心平凡的右角型Artin群，边界商代数是通过在每个$\Gamma^{\rm opp}$的有限连通分支$S_i$上施加关系$\prod_{s \in S_i} (I - V_s V_s^*) = 0$而得到的商代数，且该商代数是唯一且在真商代数中最大的。
• 边界商代数的$K_0$中单位元的阶猜想为$|\chi(\Gamma) - 1|$，其中$\chi(\Gamma)$是图$\Gamma$的欧拉示性数。