[论文解读] Boundary regularity for the second boundary-value problem of Monge-Ampère equations in dimension two

Shibing Chen, Jiakun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 8

一句话总结

本文在最优条件下建立了二维Monge-Ampère方程第二边界值问题的尖锐全局 $ C^{2,\beta} $ 正则性：凸域具有 $ C^{1,\beta} $ 边界，且右端项 $ f \in C^\beta $。作者提出一种新颖的迭代论证方法，以提升Hessian矩阵的Hölder正则性，实现边界处的 $ C^{2,\beta} $ 正则性。关键结果包括在对 $ f $ 的可积性假设更弱时，获得全局 $ W^{2,p} $ 和 $ W^{2,1+\epsilon} $ 估计。

ABSTRACT

In this paper, we introduce an iteration argument to prove that a convex solution to the Monge-Ampère equation $\mbox{det } D^2 u =f $ in dimension two subject to the natural boundary condition $Du(Ω) = Ω^*$ is $C^{2,α}$ smooth up to the boundary. We establish the estimate under the sharp conditions that the inhomogeneous term $f\in C^α$ and the domains are convex and $C^{1,α}$ smooth. When $f\in C^0$ (resp. $1/C

研究动机与目标

• 在最弱可能的假设下，建立二维Monge-Ampère方程的全局 $ C^{2,\alpha} $ 正则性：凸域具有 $ C^{1,\alpha} $ 边界，且 $ f \in C^{\alpha} $。
• 当 $ f $ 仅连续或远离零时，将正则性结果扩展至 $ W^{2,p} $ 和 $ W^{2,1+\epsilon} $ 估计。
• 提出一种新的迭代论证方法，将Hessian的Hölder正则性从 $ C^{1,\alpha} $ 提升至 $ C^{1,\alpha'} $，其中 $ \alpha' > \alpha $，最终实现所有 $ \alpha < 1 $ 的 $ C^{1,\alpha} $ 正则性。
• 证明在二维情形下，仅需满足一致倾斜性与密度性质，即可保证全局正则性，即使不假设一致凸性。
• 提出一种新证明策略，避免依赖一致凸性，显著弱化对定义域的几何假设。

提出的方法

• 引入一种迭代几何论证方法，将Hessian的Hölder指数从 $ \alpha $ 提升至 $ \alpha' > \alpha $，且每步的增量满足 $ \alpha' - \alpha \geq \delta > 0 $，从而实现收敛至所有 $ \alpha < 1 $ 的 $ C^{1,\alpha} $ 正则性。
• 利用Vitali覆盖引理控制Hessian子水平集中的大值分布。
• 应用Caffarelli与CLW所得的子水平集的均匀密度性质，控制水平集的大小，并将其与定义域的几何结构关联。
• 建立一个关键衰减估计：$ \int_{D_{k+1}} \|D^2 u\| \leq (1 - \tau) \int_{D_k} \|D^2 u\| $，其中 $ D_k = \{ \|D^2 u\| \geq N^k \} $，利用一个绝对常数 $ \tau > 0 $，以证明可积性的提升。
• 通过仿射标准化，将子水平集上Hessian大小与单位球进行比较，利用Hessian的雅可比行列式实现比较估计。
• 结合先前工作中的统一倾斜性条件、统一密度性质与几何迭代方法，推导出全局 $ C^{2,\alpha} $ 与 $ W^{2,p} $ 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维Monge-Ampère方程中，为确保全局 $ C^{2,\alpha} $ 正则性，对定义域与右端项 $ f $ 的正则性要求的最小值是什么？
• RQ2 是否可以在不假设定义域一致凸性的情况下，建立 $ C^{2,\alpha} $ 正则性？
• RQ3 该迭代论证方法如何提升Hessian的Hölder指数？每一步的最小提升量是多少？
• RQ4 在何种 $ f $ 的条件下，如 $ f \in C^0 $ 或 $ \lambda^{-1} < f < \lambda $，可实现全局 $ W^{2,p} $ 或 $ W^{2,1+\epsilon} $ 正则性？
• RQ5 该几何迭代方法能否推广至高维情形，以在有界 $ f $ 条件下证明全局 $ W^{2,1+\epsilon} $ 正则性？

主要发现

• 本文证明了在尖锐条件下，二维Monge-Ampère方程具有全局 $ C^{2,\alpha} $ 正则性：$ \Omega, \Omega^* $ 为凸集且具有 $ C^{1,\alpha} $ 边界，$ f \in C^{\alpha} $，且 $ C^{2,\alpha} $ 范数中的常数仅依赖于 $ f $、$ \Omega $ 与 $ \Omega^* $。
• 提出一种迭代论证方法，每步将Hessian的Hölder指数提升一个绝对常数 $ \delta > 0 $，从而实现所有 $ \alpha < 1 $ 的 $ u \in C^{1,\alpha} $，进而得到所有 $ \alpha < 1 $ 的 $ u \in C^{2,\alpha} $。
• 当 $ f \in C^0(\overline{\Omega}) $ 时，在 $ \partial\Omega, \partial\Omega^* \in C^{1,\epsilon} $（某 $ \epsilon > 0 $）的假设下，建立了全局 $ W^{2,p} $ 正则性，对所有 $ p \geq 1 $ 成立。
• 当 $ \lambda^{-1} < f < \lambda $ 时，证明了全局 $ W^{2,1+\epsilon} $ 正则性，其中 $ \epsilon, C > 0 $ 为仅依赖于 $ \lambda $ 与定义域的绝对常数。
• 证明依赖于一个几何衰减估计：$ \int_{D_{k+1}} \|D^2 u\| \leq (1 - \tau) \int_{D_k} \|D^2 u\| $，其中 $ \tau \in (0,1) $ 为绝对常数，该估计蕴含 $ L^p $ 与 $ W^{2,1+\epsilon} $ 可积性。
• 该结果可推广至高维：在 $ \mathbb{R}^n $（$ n > 2 $）中，当边界为 $ C^{1,1} $ 且 $ f $ 有界时，$ W^{2,1+\epsilon} $ 正则性成立，其中 $ \epsilon, C $ 仅依赖于 $ n, \lambda, \Omega, \Omega^* $。