[论文解读] Global regularity for the Monge-Ampère equation with natural boundary condition

Shibing Chen, Jiakun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 10

一句话总结

该论文在不假设区域一致强凸性的前提下，建立了Monge-Ampère方程 $\det D^2u = f$ 的全局 $C^{2,\beta}$ 和 $W^{2,p}$ 正则性，其中 $\Omega$ 和 $\Omega^*$ 是具有 $C^{1,1}$ 边界的有界凸区域，且 $f$ 是 Hölder 连续的。关键贡献在于证明了正则性无需依赖于区域的一致强凸性，从而扩展了以往依赖更强几何假设的研究结果。

ABSTRACT

In this paper, we establish the global $C^{2,α}$ and $W^{2,p}$ regularity for the Monge-Ampère equation $\det\,D^2u = f$ subject to boundary condition $Du(Ω) = Ω^*$, where $Ω$ and $Ω^*$ are bounded convex domains in the Euclidean space $\mathbb{R}^n$ with $C^{1,1}$ boundaries, and $f$ is a Hölder continuous function. This boundary value problem arises naturally in optimal transportation and many other applications.

研究动机与目标

• 建立Monge-Ampère方程 $\det D^2u = f$ 在自然边界条件 $Du(\Omega) = \Omega^*$ 下的全局 $C^{2,\alpha}$ 正则性，其中 $\Omega$ 和 $\Omega^*$ 为凸区域。
• 去除文献中为实现全局 $C^{2,\alpha}$ 正则性所要求的区域 $\Omega$ 和 $\Omega^*$ 的一致强凸性假设。
• 在最小假设下证明全局 $W^{2,p}$ 正则性，具体而言，当 $f \in C^0(\overline{\Omega})$ 且边界为 $C^{1,1}$ 时。
• 表明 $C^{1,1}$ 边界正则性足以保证全局 $C^{2,\alpha}$ 和 $W^{2,p}$ 估计，即使区域仅为凸而不具一致强凸性。

提出的方法

• 通过爆破论证分析解在边界附近的性质，将 $u$ 的次水平集归一化以研究其极限形状。
• 应用连续性方法与迭代估计，控制 $D^2u$ 在不同尺度下的振荡。
• 通过边界上的几何与分析估计，建立一致倾斜性与切向 $C^{1,\alpha}$ 正则性。
• 使用区域的 dyadic 分解，并通过一系列逼近函数 $u_k$ 逐级控制二阶导数，误差界以 $f$ 的模连续性 $\omega(r)$ 表示。
• 通过估计积分界 $\omega(r)/r$ 与 $\omega(r)/r^2$，利用 $f$ 的 Hölder 连续性，证明 $D^2u$ 在边界处的 Hölder 连续性，即估计差值 $|D^2u(z) - D^2u(0)|$。
• 通过证明 $D^2u$ 的一致有界性，可消除指数中的 $\varepsilon$ 损失，从而将 $C^{2,\alpha-\varepsilon}$ 估计改进为 $C^{2,\alpha}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设区域一致强凸性的情况下，能否为具有自然边界条件的Monge-Ampère方程建立全局 $C^{2,\alpha}$ 正则性？
• RQ2 当区域仅为凸时，$C^{1,1}$ 边界正则性是否足以保证全局 $C^{2,\alpha}$ 和 $W^{2,p}$ 估计？
• RQ3 边界数据与右端项 $f$ 的精确正则性阈值是什么，才能确保全局二阶正则性？
• RQ4 若将 $C^{1,1}$ 边界条件弱化为 $C^{1,1-\theta}$，在解具有适当光滑性时，是否仍能保持全局正则性估计？
• RQ5 当区域为具有 $C^{1,1}$ 边界的凸区域且 $f \in C^0(\overline{\Omega})$ 时，全局 $W^{2,p}$ 估计是否成立？

主要发现

• 在 $\Omega$ 和 $\Omega^*$ 为具有 $C^{1,1}$ 边界的有界凸区域，且 $f \in C^{\alpha}(\overline{\Omega})$ 为正函数的假设下，建立了Monge-Ampère方程 $\det D^2u = f$ 在自然边界条件 $Du(\Omega) = \Omega^*$ 下的全局 $C^{2,\alpha}$ 正则性。
• 文献中曾要求的区域一致强凸性假设被去除；仅凸性即可保证全局 $C^{2,\alpha}$ 正则性。
• 当 $f \in C^0(\overline{\Omega})$ 且区域为具有 $C^{1,1}$ 边界的凸区域时，全局 $W^{2,p}$ 估计对所有 $p \geq 1$ 成立。
• 当 $f$ 为 Dini 连续时，即使不满足 Hölder 连续性，二阶导数 $D^2u$ 仍可连续延拓至边界。
• 证明表明，若解整体为 $C^{1,\delta}$ 光滑，则 $C^{1,1}$ 边界正则性可弱化为 $C^{1,1-\theta}$（$\theta > 0$）。
• 该结果可推广至二维中的 $C^{1,\alpha}$ 边界，且该方法适用于凸区域的小非凸扰动，表明在小非凸扰动下解仍保持光滑性。