[论文解读] Boundary singularities of semilinear elliptic equations with Leray-Hardy potential

Huyuan Chen, Laurent Véron|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文研究了在有界区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N_+$ 中，当 $0 \in \partial\Omega$ 时，带 Leray-Hardy 位势的半线性椭圆方程 $\Delta u + \frac{\mu}{|x|^2}u + g(u) = \nu$ 解的存在性与唯一性，其中 $\mu \geq -\frac{N^2}{4}$，$g$ 连续且非减，$\nu$ 和 $\lambda$ 为 Radon 测度。关键贡献是一个基于容量的框架，为当 $g$ 为幂函数时提供了可解性的充要条件，根据测度是否集中在边界奇点 $0$ 而区分行为。

ABSTRACT

We study existence and uniqueness of solutions of (E 1) --$Δ$u + $μ$ |x| ^{-2} u + g(u) = $ν$ in $Ω$, u = $λ$ on $\partial$$Ω$, where $Ω$ $\subset$ R N + is a bounded smooth domain such that 0 $\in$ $\partial$$Ω$, $μ$ $\ge$ -- N 2 4 is a constant, g a continuous nondecreasing function satisfying some integral growth condition and $ν$ and $λ$ two Radon measures respectively in $Ω$ and on $\partial$$Ω$. We show that the situation differs considerably according the measure is concentrated at 0 or not. When g is a power we introduce a capacity framework which provides necessary and sufficient conditions for the solvability of problem (E 1).

研究动机与目标

• 建立当奇点位于区域边界时，带 Leray-Hardy 位势的半线性椭圆方程解的存在性与唯一性。
• 分析解的性质如何依赖于测度 $\nu$ 是否集中在奇点 $0 \in \partial\Omega$。
• 为幂函数型非线性项 $g(u) = |u|^{p-1}u$ 构建一个容量框架，提供可解性的必要与充分条件。
• 以谱参数 $\mu$ 和指数 $p$ 表示解在边界奇点 $0$ 附近的渐近行为。
• 将先前关于内部奇点的结果推广至边界情形，特别是将 [15] 和 [21] 的结果推广至边界设置。

提出的方法

• 在 $\Omega$ 中采用方程 $-\Delta u + \frac{\mu}{|x|^2}u + g(u) = \nu$ 的弱形式，其中 $u = \lambda$ 在 $\partial\Omega$ 上，$\nu$ 和 $\lambda$ 为 Radon 测度。
• 应用 Kato 型不等式与能量估计，分析解在 $x = 0$ 处边界奇点附近的性质。
• 提出一种基于 Bessel 容量的容量框架，该框架适配于 Hardy 位势，并专门针对 $0 \in \partial\Omega$ 的边界情形。
• 使用 Emden-Fowler 变换 $v(t, \sigma) = r^{-\frac{2}{p-1}} u(r, \sigma)$，其中 $t = \ln r$，将问题约化为在球面上的时变 ODE，从而实现谱分析。
• 运用解析函数理论与 Sturmian 论证方法，研究解的离散结构及其在 $0$ 附近的爆破速率。
• 应用比较原理与上解方法，建立解的上界，特别地，当 $p > p^*_\mu$ 时，有 $u = o(\phi_\mu)$ 当 $x \to 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $0 \in \partial\Omega$ 时，方程 $-\Delta u + \frac{\mu}{|x|^2}u + g(u) = \nu$ 在 $\Omega$ 中且 $u = \lambda$ 在 $\partial\Omega$ 上，其解在何种条件下存在？
• RQ2 该问题的可解性如何依赖于测度 $\nu$ 是否集中在边界奇点 $0$？
• RQ3 对于幂函数型非线性项 $g(u) = |u|^{p-1}u$，解在 $x = 0$ 附近的精确渐近行为是什么？
• RQ4 临界指数 $p^*_\mu$ 是什么？它在边界奇点情形下如何区分亚临界与超临界行为？
• RQ5 能否构建一个容量理论框架，以表征使问题可解的测度 $\nu$ 的集合？

主要发现

• 当 $g(u) = |u|^{p-1}u$ 时，问题可解当且仅当测度 $\nu$ 属于与 $\mu$、$N$ 和 $p$ 相关的特定 Bessel 容量，从而提供必要且充分条件。
• 当 $p > p^*_\mu$ 时，解满足 $u(x) = o(\phi_\mu(x))$ 当 $x \to 0$，其中 $\phi_\mu(x) = |x|^{-\frac{N-2}{2} + \sqrt{\mu + \frac{N^2}{4}}}$ 是方程 $\mathcal{L}_\mu u = 0$ 的基态解。
• 当 $p = p^*_\mu$ 且 $\mu = \mu_1 = -\frac{N^2}{4}$ 时，解在 $0$ 附近仍满足 $u = o(\phi_\mu)$，且解唯一且为弱解。
• 当 $p = p^*_\mu$ 且 $\mu > \mu_1$ 时，有 $\mathcal{E}_v \subset \{0\}$，意味着 $u$ 相对于 $\phi_\mu$ 渐近为零。
• 在球面上约化方程的解集是离散的，且收敛于该集合的单个元素意味着渐近轮廓的唯一性。
• 当 $p = 3$ 且 $N + 4\sqrt{\mu - \mu_1} > 0$ 时，在特定谱条件下，唯一可能存在的奇数幂指数为 $p = 3$。