[论文解读] Bounded Independence Fools Degree-2 Threshold Functions

Ilias Diakonikolas, Daniel M. Kane+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文表明，$k = \mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立分布 $\varepsilon$-欺骗所有定义在 $\{-1,1\}^n$ 上的二阶多项式阈值函数（PTF），从而解决了这一开放问题。关键技术——多变量 FT-光滑化——将单变量光滑化推广至处理二次型，使得有界独立性能够欺骗常数个二阶 PTF 的交集，并实现 Goemans-Williamson 超平面舍入方案的去随机化，其独立性程度为 $\widetilde{O}(\varepsilon^{-9})$-wise。

ABSTRACT

Let x be a random vector coming from any k-wise independent distribution over {-1,1}^n. For an n-variate degree-2 polynomial p, we prove that E[sgn(p(x))] is determined up to an additive epsilon for k = poly(1/epsilon). This answers an open question of Diakonikolas et al. (FOCS 2009). Using standard constructions of k-wise independent distributions, we obtain a broad class of explicit generators that epsilon-fool the class of degree-2 threshold functions with seed length log(n)*poly(1/epsilon). Our approach is quite robust: it easily extends to yield that the intersection of any constant number of degree-2 threshold functions is epsilon-fooled by poly(1/epsilon)-wise independence. Our results also hold if the entries of x are k-wise independent standard normals, implying for example that bounded independence derandomizes the Goemans-Williamson hyperplane rounding scheme. To achieve our results, we introduce a technique we dub multivariate FT-mollification, a generalization of the univariate form introduced by Kane et al. (SODA 2010) in the context of streaming algorithms. Along the way we prove a generalized hypercontractive inequality for quadratic forms which takes the operator norm of the associated matrix into account. These techniques may be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决关于最小 $k$ 的开放问题，使得 $k$-wise 独立分布 $\varepsilon$-欺骗所有定义在 $\{-1,1\}^n$ 上的二阶多项式阈值函数（PTF）。
• 开发一个稳健的分析框架，超越均匀分布，处理 PTF 和不变性原理背景下的有界独立性。
• 证明有界独立性足以实现 Goemans-Williamson 超平面舍入方案在 MaxCut 问题上的去随机化。
• 证明任意常数个二阶 PTF 的交集在超立方体和高斯空间上均被 $\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立性 $\varepsilon$-欺骗。

提出的方法

• 引入多变量 FT-光滑化，作为单变量光滑化的推广，用于在有界独立性下平滑二次型指示函数。
• 证明一个广义的超展开不等式，考虑二次型矩阵的算子范数，从而在有限独立性下实现浓度界限。
• 使用基于树的结构分解，将受限子函数分类为 $\tau$-正则 PTF 或在有界独立性下 $\tau$-接近常数函数。
• 将光滑化技术应用于 $\mathbb{R}^2$ 中两个半空间交集的指示函数，证明 $O(1/\varepsilon^2)$-wise 独立性足以在 $\varepsilon$ 范围内近似高斯测度。
• 利用已知的 $k$-wise 独立分布构造方法，构建显式伪随机生成器，其种子长度为 $\log n \cdot \widetilde{O}(\varepsilon^{-9})$，适用于二阶 PTF。
• 将分析扩展至证明，对任意常数 $m$，$O(1/\varepsilon^2)$-wise 独立性足以 $\varepsilon$-欺骗 $m$ 个半空间或二阶 PTF 的交集。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小的 $k$ 是多少，使得 $k$-wise 独立分布 $\varepsilon$-欺骗所有定义在 $\{-1,1\}^n$ 上的二阶 PTF？
• RQ2 即使底层分布并非完全独立，有界独立性是否足以保持二次型在符号函数下的分布性质？
• RQ3 在有界独立性而非完全独立性下，二阶 PTF 的不变性原理是否仍然成立？
• RQ4 能否仅使用 $k$-wise 独立随机向量（$k = \mathrm{poly}(1/\varepsilon)$）对 Goemans-Williamson 超平面舍入方案实现去随机化？
• RQ5 在超立方体和高斯空间上，常数个二阶 PTF 的交集是否被 $\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立性 $\varepsilon$-欺骗？

主要发现

• 任何 $\widetilde{\Omega}(\varepsilon^{-9})$-wise 独立分布 $\varepsilon$-欺骗所有定义在 $\{-1,1\}^n$ 上的二阶 PTF，解决了 Diakonikolas 等人（FOCS 2009）提出的开放问题。
• 任意常数个二阶 PTF 的交集在超立方体和标准高斯测度上均被 $\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立性 $\varepsilon$-欺骗。
• Goemans-Williamson 超平面舍入方案可使用 $O(1/\varepsilon^2)$-wise 独立随机向量实现去随机化，其期望割边值与最优值相差不超过 $\varepsilon$。
• 有界独立性足以使 Mossell、O'Donnell 和 Oleszkiewicz 的不变性原理在低影响的二阶多项式情况下成立。
• 多变量 FT-光滑化技术实现了包含二次型矩阵算子范数的广义超展开不等式，提供了更紧致的浓度界限。
• 存在显式伪随机生成器用于二阶 PTF，其种子长度为 $\log n \cdot \widetilde{O}(\varepsilon^{-9})$，由标准 $k$-wise 独立分布构造方法导出。