[论文解读] Boundedness in families with applications to arithmetic hyperbolicity

Raymond van Bommel, Ariyan Javanpeykar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Meromorphic and Entire Functions被引用 4

一句话总结

本文通过利用半阿贝尔簇的有界性性质并引入新的伪代数双曲性概念，证明了在非零不规则性条件下，射影正常曲面的算术双曲性在域扩张下保持不变。它还证明了关键双曲性条件——如代数双曲性、有界性与无群性——在族中关于一般化和Zariski可数开集是稳定的，为Demailly、Green–Griffiths、Lang与Vojta的猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

Motivated by conjectures of Demailly, Green-Griffiths, Lang, and Vojta, we show that several notions related to hyperbolicity behave similarly in families. We apply our results to show the persistence of arithmetic hyperbolicity along field extensions for projective normal surfaces with nonzero irregularity. These results rely on the mild boundedness of semi-abelian varieties. We also introduce and study the notion of pseudo-algebraic hyperbolicity which extends Demailly's notion of algebraic hyperbolicity for projective schemes.

研究动机与目标

• 研究射影代数簇族中代数双曲性、有界性、无群性及一般型等双曲性概念的行为。
• 通过证明双曲性条件在Zariski可数开集下稳定且在一般化下保持不变，为Demailly–Green–Griffiths–Lang–Vojta猜想提供证据。
• 确立在非零不规则性条件下，射影正常曲面的算术双曲性在域扩张下保持不变。
• 引入并研究新的伪代数双曲性概念，将Demailly的定义推广至允许Zariski闭的例外集。
• 证明模闭子概形的有界性在基变换与归纳下表现良好，尤其在不可数域与有限型Hom-概形的背景下。

提出的方法

• 以半阿贝尔簇的温和有界性作为基础工具，控制射影代数簇族的映射族。
• 应用Silverman的专门化定理，从闭纤维上的有界性推导出几何一般纤维上的有界性。
• 运用弯折-断裂技巧与Hilbert多项式控制，证明曲线到代数簇模除子的态射族的有限性。
• 通过证明所有子簇均为一般型的点集在一般化下稳定，确立双曲性区域的Zariski可数开性。
• 引入模闭子概形 $\Delta$ 的 $(n,1)$-有界性概念，以推广有界性并控制带点态射族。
• 通过维数归纳法与Hom-概形的有限性，证明若 $X$ 是模 $\Delta$ 的 $(1,1)$-有界，则对所有 $n$，$X$ 均为模 $\Delta$ 的 $(n,1)$-有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在族中，代数双曲性或有界性的射影代数簇的集合在Zariski拓扑下是否开集？
• RQ2 在非零不规则性条件下，算术双曲性是否在射影正常曲面的域扩张下保持不变？
• RQ3 代数双曲性概念能否推广至具有Zariski闭例外集的代数簇？其蕴含何种有限性性质？
• RQ4 在特征零域上的射影代数簇族中，有界性、$(n,m)$-有界性与无群性是否在一般化下保持不变？
• RQ5 若 $X$ 是模闭子概形 $\Delta$ 的 $(1,1)$-有界，则对所有 $n$，$X$ 是否均为模 $\Delta$ 的 $(n,1)$-有界？

主要发现

• 所有积分闭子簇均为一般型的射影代数簇的集合在一般化下稳定，这为Demailly–Green–Griffiths–Lang–Vojta猜想提供了关键步骤的证实。
• 通过半阿贝尔簇的有界性与基变换技巧，证明了在非零不规则性条件下，射影正常曲面的算术双曲性在域扩张下保持不变。
• 当 $X$ 是域 $k$ 上模 $\Delta$ 的 $(1,1)$-有界时，其在不可数域 $L$ 上的基变换 $X_L$ 模 $\Delta_L$ 也是有界的，此结论源于有限性与Hilbert多项式控制。
• 若 $X$ 是模 $\Delta$ 的 $(1,1)$-有界，则对所有 $n \geq 1$，$X$ 均为模 $\Delta$ 的 $(n,1)$-有界，该结论通过归纳法与反证法结合弯折-断裂技巧获得。
• 从任意射影积分概形 $Y$ 到射影伪代数双曲概形 $X$ 的所有满态射的集合是有限的，这在伪设定下确认了某种有限性性质。
• 伪代数双曲性的概念确保所有有理曲线均包含于例外集 $\Delta$ 中，且当 $L$ 为不可数域时，$X_L$ 模 $\Delta_L$ 是有界的。