[论文解读] Bounding Multivariate Trigonometric Polynomials with Applications to Filter Bank Design

Luke Pfister, Yoram Bresler|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Digital Filter Design and Implementation参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对多变量三角多项式极值的高效、基于样本的界，将单变量界的成果扩展至高维。该文引入了一种下界，可认证实三角多项式在全局范围内的非负性，从而实现一种新型算法，用于设计二维、多速率、完美重构滤波器组，实现高保真度重构（PSNR > 80 dB）。

ABSTRACT

The extremal values of multivariate trigonometric polynomials are of interest in fields ranging from control theory to filter design, but finding the extremal values of such a polynomial is generally NP-Hard. In this paper, we develop simple and efficiently computable estimates of the extremal values of a multivariate trigonometric polynomial directly from its samples. We provide an upper bound on the modulus of a complex trigonometric polynomial, and develop upper and lower bounds for real trigonometric polynomials. For a univarite polynomial, these bounds are tighter than existing bounds, and the extension to multivariate polynomials is new. As an application, the lower bound provides a sufficient condition to certify global positivity of a real trigonometric polynomial. We use this condition to motivate a new algorithm for multi-dimensional, multirate, perfect reconstruction filter bank design. We demonstrate our algorithm by designing a 2D perfect reconstruction filter bank.

研究动机与目标

• 解决从系数计算多变量三角多项式极值这一NP难问题。
• 基于样本数据，直接推导出此类多项式极值的计算高效界，避免插值或网格搜索。
• 通过一种新型下界，提供实三角多项式在环面上全局非负性的充分条件。
• 将该下界应用于设计多维、多速率、完美重构滤波器组，且合成滤波器为FIR形式。
• 展示所提滤波器组设计在二维场景下的可行性与性能，实现高精度重构。

提出的方法

• 仅利用采样值，推导复多变量三角多项式模的上界。
• 基于采样数据，为实多变量三角多项式建立上下界，其单变量扩展更紧密。
• 将下界用作充分条件，以认证实三角多项式在整个环面上的全局非负性。
• 将滤波器组设计问题表述为：通过在分析滤波器的多相矩阵与合成滤波器的多相矩阵乘积和单位矩阵之间的失配上施加二次惩罚，对多相矩阵施加约束。
• 应用基于样本的界，验证完美重构条件在整个二维频域上全局成立，确保约束在采样点之外也满足。
• 使用Adam算法优化滤波器系数，并逐步增加惩罚参数λ，以在多相矩阵上强制实现左逆条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不进行插值或网格搜索的前提下，仅从样本高效估计多变量三角多项式的极值？
• RQ2 能否推导出实三角多项式更紧致的下界，以认证其全局非负性？
• RQ3 能否利用该下界设计多维、多速率、完美重构滤波器组？
• RQ4 能否设计FIR合成滤波器，使得即使仅强制执行采样点上的约束，完美重构条件仍能在全局成立？
• RQ5 在实际图像处理任务中，所提滤波器组设计的重构性能如何？

主要发现

• 所提出的实三角多项式下界为全局非负性提供了充分条件，从而可认证滤波器组的完美重构性能。
• 该方法在二维、多速率滤波器组中实现了完美重构，在Barbara测试图像上的PSNR超过80 dB。
• 所设计的FIR合成滤波器虽无明显结构，但在128²个频率样本上，Frobenius范数误差小于10⁻⁷，证实了近乎完美的重构性能。
• 最小范数合成滤波器的系数表现出快速的指数衰减，表明其条件良好，且可被FIR滤波器良好逼近。
• 基于样本的界使得无需完整多项式求值或求解大规模半定规划，即可实现完美重构约束的全局验证。
• 该算法在二维滤波器组设计中表现出良好的可扩展性，证明了该方法在多维信号处理应用中的可行性。