[论文解读] Quantum Lower Bounds by Polynomials

Robert Beals, Harry Buhrman+3 more|ArXiv.org|Feb 18, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 179

一句话总结

该论文证明，在黑箱模型中，对于总布尔函数，量子算法无法实现对经典算法的指数级加速，证明了任何使用 T 次查询的量子算法，其经典查询次数的多项式上界为 O(T⁶)。论文对对称函数的量子查询复杂度提供了紧致刻画，并通过量子多项式方法的扩展，为 AND、OR 和 PARITY 在精确、零错误和有界误差模型下提供了精确边界。

ABSTRACT

We examine the number T of queries that a quantum network requires to compute several Boolean functions on {0,1}^N in the black-box model. We show that, in the black-box model, the exponential quantum speed-up obtained for partial functions (i.e. problems involving a promise on the input) by Deutsch and Jozsa and by Simon cannot be obtained for any total function: if a quantum algorithm computes some total Boolean function f with bounded-error using T black-box queries then there is a classical deterministic algorithm that computes f exactly with O(T^6) queries. We also give asymptotically tight characterizations of T for all symmetric f in the exact, zero-error, and bounded-error settings. Finally, we give new precise bounds for AND, OR, and PARITY. Our results are a quantum extension of the so-called polynomial method, which has been successfully applied in classical complexity theory, and also a quantum extension of results by Nisan about a polynomial relationship between randomized and deterministic decision tree complexity.

研究动机与目标

• 确定在黑箱模型中，量子加速对总布尔函数的限制。
• 刻画对称函数在精确、零错误和有界误差设置下的量子查询复杂度。
• 在各种误差模型下，为 AND、OR 和 PARITY 等基本函数建立紧致边界。
• 将经典多项式方法扩展至量子查询复杂度，以实现新的下界技术。

提出的方法

• 使用量子多项式方法的扩展，将 T 次查询的量子算法映射为次数至多为 2T 的多重线性多项式。
• 应用对称化技术，将对称函数的分析简化为单变量多项式。
• 利用逼近多项式的次数界推导查询复杂度的下界。
• 使用多项式方法证明，有界误差下的量子查询复杂度与确定性查询复杂度呈多项式相关。
• 应用 Nisan 关于随机化与确定性决策树的结果，强化经典与量子复杂度之间的关系。
• 利用块敏感性和多项式次数的论证，证明特定函数的量子算法最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在黑箱模型中，量子算法能否对总布尔函数实现指数级加速？
• RQ2 对称函数（如 AND、OR 和 PARITY）的精确量子查询复杂度是多少？
• RQ3 对于总函数，量子查询复杂度与经典确定性和随机化查询复杂度之间有何关系？
• RQ4 多项式方法能否扩展以推导量子查询复杂度的紧致下界？
• RQ5 计算 MAJORITY 及其他对称函数的精确、零错误和有界误差计算，所需的最少查询次数是多少？

主要发现

• 对于任意总布尔函数，均不可能实现指数级量子加速：若一个量子算法以有界误差使用 T 次查询计算总函数，则一个经典确定性算法可使用 O(T⁶) 次查询精确计算该函数。
• 对于对称函数，其在精确、零错误和有界误差模型下的量子查询复杂度，可紧致地以表示多项式的次数刻画。
• OR 的精确和零错误量子查询复杂度为 N，而其有界误差复杂度为 Θ(√N)，展示了二次加速。
• PARITY 的精确和零错误量子查询复杂度为 N/2，其有界误差复杂度也为 N/2，其逼近多项式的次数为 N。
• 对于 MAJORITY，其有界误差量子查询复杂度为 Θ(N)，上界为 N/2 + √N，而其精确复杂度至少为 (N+1)/2。
• 多项式方法证明，XOR 及其否定是唯一能为量子算法带来相比经典算法查询优势的二元连接词。