[论文解读] Bounds for torsion on abelian varieties with integral moduli

Pete L. Clark|ArXiv.org|Jul 15, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文建立了在具有潜在良好约化性质的局部域上，阿贝尔簇的挠子群的统一有界性，特别关注 $p$-进域。研究证明，对于在 $p$-进域 $K$ 上具有潜在良好约化性质的 $d$ 维阿贝尔簇，其挠子群的大小受一个依赖于维数、扩张次数和剩余特征的函数 $F(d,n,p)$ 有界，在纯粹加法约化情况下有更强的有界性。主要贡献在于对度数不超过 3 的数域上的 CM 椭圆曲线的可能挠子群阶进行了分类，以及对具有整模形式的 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔曲面的有理挠子群进行了分类，仅剩下 11 个候选阶，最大者为 72。

ABSTRACT

We give a function F(d,n,p) such that if K/Q_p is a degree n field extension and A/K is a d-dimensional abelian variety with potentially good reduction, then #A(K)[tors] is at most F(d,n,p). Separate attention is given to the prime-to-p torsion and to the case of purely additive reduction. These latter bounds are applied to classify rational torsion on CM elliptic curves over number fields of degree at most 3, on elliptic curves over Q with integral j (recovering a theorem of Frey), and on abelian surfaces over Q with integral moduli. In the last case, our efforts leave us with 11 numbers which may, or may not, arise as the order of the full torsion subgroup. The largest such number is 72.

研究动机与目标

• 建立在具有潜在良好约化性质的局部域上阿贝尔簇的挠子群大小的统一有界性。
• 将梅雷对 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线的统一有界性结果推广到 $p$-进域上的高维阿贝尔簇。
• 对度数不超过 3 的数域上的 CM 椭圆曲线的可能有理挠子群阶进行分类。
• 确定在具有整模形式的 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔曲面的完整挠子群可能的阶，将候选列表减少至 11 个。

提出的方法

• 利用有限域上理性点数的韦伊有界性，推导出对 $p$-互素挠子群的有界性，具体为 $\#A(K)[\operatorname{tors}]' \leq [(1+\sqrt{q})^{2d}]$。
• 应用内朗模型、形式群和分量群理论，分析潜在良好约化情形下的 $p$-主挠子群。
• 引入一个函数 $F(d,n,p)$，该函数以维数 $d$、扩张次数 $n$ 和剩余特征 $p$ 表示，对完整挠子群进行有界，同时纳入分歧和 $p$-进赋值数据。
• 利用 $\mathbb{F}_p$ 上韦伊多项式的结构，对可能的阿贝尔曲面的 zeta 函数进行分类，区分类型 I（椭圆曲线的乘积）、类型 II（实乘法）和类型 III（四次 CM 域）。
• 采用整模形式理论——由数域整数环中的 $j$-不变量定义——以限制所考虑的阿贝尔簇类别。
• 将有界性结果应用于具体情形：度数不超过 3 的域上的 CM 椭圆曲线、具有整 $j$-不变量的 $\mathbb{Q}$ 上椭圆曲线，以及具有整模形式的 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有潜在良好约化性质的 $p$-进域上，$d$ 维阿贝尔簇的挠子群最大可能大小是多少？该大小是否能以 $d$、$n=[K:\mathbb{Q}_p]$ 和 $p$ 为参数实现统一有界？
• RQ2 在度数不超过 3 的数域上，CM 椭圆曲线的挠子群可能的阶有哪些？
• RQ3 在具有整模形式的 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔曲面中，以下 11 个候选阶 $11, 13, 14, 15, 22, 25, 28, 30, 48, 60, 72$ 中，哪些实际作为完整挠子群阶出现？
• RQ4 当约化为纯粹加法时，$p$-进域上阿贝尔簇的挠子群是否能实现统一有界？
• RQ5 在 $\mathbb{F}_p$ 上的韦伊多项式结构如何限制阿贝尔曲面上有理点的可能阶？

主要发现

• 在具有潜在良好约化性质的 $p$-进域上的 $d$ 维阿贝尔簇，其 $p$-互素挠子群被有界于 $[(1+\sqrt{q})^{2d}]$，其中 $q$ 为剩余域的大小。
• 对于 $p$-主挠子群，有界为 $[(1+\sqrt{q})^{2d}]_{p} \cdot p^{fd[\frac{e}{p-1}]+2dm_{p}(2d)}$，其中 $e$ 为绝对分歧指数，$m_p(2d)$ 为 $\#GL_{2d}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ 在 $N$ 与 $p$ 互素时的 $p$-进赋值。
• 在纯粹加法约化情形下，仅可能有 $\ell \leq 2d+1$ 的素数整除挠子群阶，且完整挠子群被一个与剩余特征无关的函数 $Z(d,e)$ 有界。
• 对度数不超过 3 的数域上的 CM 椭圆曲线，其可能的挠子群阶已完全分类，且对具有整模形式的 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔曲面的可能阶列表已减少至 11 个候选。
• 在具有整模形式的 $\mathbb{Q}$ 上阿贝尔曲面中，完整挠子群阶的最大可能值为 72，该值可能被实现，也可能不被实现。
• 本文确认了阶 $19$ 和 $20$ 分别通过雅可比簇 $J_1(13)$ 和 $J_1(16)$ 实现，且阶 $1-4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 18, 24, 36$ 均来自椭圆曲线的积或韦伊限制。