[论文解读] Bounds on stabilizer measurement circuits and obstructions to local implementations of quantum LDPC codes

Nicolas Delfosse, Michael E. Beverland+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 33被引用 8

一句话总结

本文確立了在2D局部 Clifford 電路中測量量子 LDPC 編碼穩定子所需深度的基礎下界，證明在 N 個物理量子比特的 2D 網格上，局部擴展碼的校驗值提取至少需要 Ω(n/√N) 的深度。儘管構建了使用 O(n²) 和 O(n) 附加量子比特的最優電路，模擬結果顯示在 2D 局域性下無邏輯閾值，表明由於淺層電路中的錯誤傳播，量子 LDPC 編碼在這種硬件上可能不切實際。

ABSTRACT

In this work we establish lower bounds on the size of Clifford circuits that measure a family of commuting Pauli operators. Our bounds depend on the interplay between a pair of graphs: the Tanner graph of the set of measured Pauli operators, and the connectivity graph which represents the qubit connections required to implement the circuit. For local-expander quantum codes, which are promising for low-overhead quantum error correction, we prove that any syndrome extraction circuit implemented with local Clifford gates in a 2D square patch of $N$ qubits has depth at least $Ω(n/\sqrt{N})$ where $n$ is the code length. Then, we propose two families of quantum circuits saturating this bound. First, we construct 2D local syndrome extraction circuits for quantum LDPC codes with bounded depth using only $O(n^2)$ ancilla qubits. Second, we design a family of 2D local syndrome extraction circuits for hypergraph product codes using $O(n)$ ancilla qubits with depth $O(\sqrt{n})$. Finally, we use circuit noise simulations to compare the performance of a family of hypergraph product codes using this last family of 2D syndrome extraction circuits with a syndrome extraction circuit implemented with fully connected qubits. While there is a threshold of about $10^{-3}$ for a fully connected implementation, we observe no threshold for the 2D local implementation despite simulating error rates of as low as $10^{-6}$. This suggests that quantum LDPC codes are impractical with 2D local quantum hardware. We believe that our proof technique is of independent interest and could find other applications. Our bounds on circuit sizes are derived from a lower bound on the amount of correlations between two subsets of qubits of the circuit and an upper bound on the amount of correlations introduced by each circuit gate, which together provide a lower bound on the circuit size.

研究动机与目标

• 在 2D 局域硬件約束下，確立測量量子 LDPC 編碼穩定子所需的 Clifford 電路深度的下界。
• 研究當校驗值提取被限制在 2D 局域操作時，量子 LDPC 編碼是否能實現容錯的邏輯閾值。
• 為量子 LDPC 編碼設計高效且 2D 局域的校驗值提取電路，以最小化附加量子比特的開銷。
• 在現實的電路噪聲模型下評估這些電路的性能，並與完全連接的實現進行比較。

提出的方法

• 使用基於相關性的論證推導電路深度的下界：對量子比特子集之間的相關性設下界，並對每個門引入的相關性設上界。
• 使用兩張圖來建模穩定子測量問題：Pauli 算符的 Tanner 圖與量子比特耦合的連通性圖。
• 構建兩類 2D 局域校驗值提取電路：一類使用 O(n²) 個附加量子比特，實現有界深度；另一類使用 O(n) 個附加量子比特，對超圖積碼的深度為 O(√n)。
• 實現一個電路噪聲模型，其中每個門、準備和測量操作後都隨機附加一個 Pauli 錯誤，機率為 p，並在多輪中模擬 BP 和 SSF 解碼的錯誤修正。
• 使用演算法 3 實作超圖積碼的線性空間校驗值提取電路，透過重疊初始化與測量步驟來優化深度。
• 在相同噪聲與解碼協定下，比較 2D 局域電路（演算法 3）與完全連接電路（演算法 1）的邏輯失敗率。

实验结果

研究问题

• RQ1 2D 局域 Clifford 電路測量量子 LDPC 編碼穩定子所需的最小深度是多少？
• RQ2 當校驗值提取被限制在 2D 局域操作時，量子 LDPC 編碼能否實現邏輯閾值？
• RQ3 在 2D 局域校驗值提取電路中，附加量子比特開銷與電路深度之間的最優權衡是什麼？
• RQ4 2D 局域實現中的電路噪聲如何影響邏輯失敗率，與完全連接實現相比如何？

主要发现

• 任何用於局部擴展量子 LDPC 編碼的 2D 局域校驗值提取電路的深度都下界為 Ω(n/√N)，其中 n 為編碼長度，N 為 2D 網格中的物理量子比特數。
• 構建了兩類 2D 局域校驗值提取電路：一類使用 O(n²) 個附加量子比特，實現有界深度；另一類使用 O(n) 個附加量子比特，對超圖積碼的深度為 O(√n)。
• 數值模擬顯示，即使在錯誤率低至 10⁻⁶ 時，超圖積碼在 2D 局域實現中也無邏輯閾值，而完全連接實現的閾值接近 10⁻³。
• 2D 局域電路中缺乏閾值表明，由於淺層電路中的錯誤傳播，量子 LDPC 編碼可能在 2D 局域量子硬件上不切實際。
• 基於相關性的證明技術提供了電路規模的一般性下界，可能適用於校驗值提取以外的場景。