[论文解读] Bowen measure for derived from Anosov diffeomorphims

Martı́n Sambarino, Carlos H. Vásquez|ArXiv.org|Apr 7, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了在何种充分条件下，一个具有规范性质的扩张同胚 $f$ 的 $C^0$ 小扰动 $g$ 会存在唯一的鲍温测度——即唯一使拓扑熵最大的遍历概率测度。该方法依赖于通过从 $g$ 到 $f$ 的半共轭 $h$ 分析周期类的动力行为，证明若每个周期类具有零拓扑熵，且平凡类在原始鲍温测度 $\mu$ 下为典型集，则 $g$ 的周期测度会收敛到唯一的最大化测度。关键结果可推广至源自阿诺索夫微分同胚（derived-from-Anosov diffeomorphisms）及其悬垂流。

ABSTRACT

In this work we give general conditions under which a $C^0$ perturbation of an expansive homeomorphim with specification property has an unique Bowen measure, that is, there is an ergodic probability measure which is the unique measure maximizing the topological entropy. We apply these conditions to show that several derived from Anosov diffeomorphims have a unique Bowen measure.

研究动机与目标

• 建立一般条件，以确定 $C^0$ 扰动 $g$ 的扩张同胚 $f$（具有规范性质）是否仍存在唯一使拓扑熵最大的测度。
• 将鲍温对唯一熵最大测度（即鲍温测度）的构造方法从 $f$ 推广至 $g$，即使 $g$ 失去扩张性和规范性质，但保留在微观尺度上的弱形式。
• 将一般结果应用于源自阿诺索夫（DA）微分同胚，证明在温和的动力与几何条件下，它们确实存在唯一鲍温测度。
• 将结果扩展至此类 DA 微分同胚的悬垂流，表明恒高悬垂流也存在唯一使熵最大的测度。
• 提供一个可推广至更一般平衡态的框架，而不仅限于熵最大化的特殊情况。

提出的方法

• 使用从 $g$ 到 $f$ 的半共轭 $h: X \to X$，满足 $f \circ h = h \circ g$，从而诱导出等价类 $[x] = h^{-1}(h(x))$。
• 定义三个关键条件：(H1) $g$ 在每个等价类 $[x]$ 上的拓扑熵为零；(H2) 每个周期类 $[x]$ 包含一个周期点，其周期与 $h(x)$ 相同；(H3) 平凡类（单点集）在 $\mu$ 下具有全测度。
• 构造 $g$ 的周期轨道上的周期概率测度序列 $\nu_n$，通过 $h$ 投影至 $f$ 的周期轨道，仅使用位于不同 $f$-轨道中的周期点。
• 证明 $\nu_n$ 收敛至极限 $\nu$，该极限是 $g$-不变、遍历的，并通过变分原理唯一最大化熵。
• 利用 $g$-轨道在非平凡类中在迭代下均匀收缩（由双曲性及与 $f$ 的 $C^0$-接近性决定），证明对所有 $[x]$ 有 $h_{\text{top}}(g, [x]) = 0$。
• 通过不稳定流形与中心稳定流形的结构以及周期类的行为，验证源自阿诺索夫微分同胚的 (H1)–(H3) 条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个 $C^0$ 扰动 $g$ 的扩张同胚 $f$（具有规范性质）仍存在唯一使拓扑熵最大的测度？
• RQ2 当 $g$ 失去扩张性和规范性质，但与 $f$ $C^0$-接近时，能否将 $f$ 的鲍温测度构造方法推广至 $g$？
• RQ3 源自阿诺索夫微分同胚是否具有唯一鲍温测度？若存在，其动力与几何条件为何？
• RQ4 当基映射被扰动时，源自阿诺索夫微分同胚的悬垂流的唯一熵最大测度是否仍然存在？
• RQ5 该方法能否推广至熵最大化的更一般平衡态？

主要发现

• 对 $g$ 定义的周期概率测度序列 $\nu_n$（作为不同 $f$-轨道中周期点的归一化和）收敛至唯一 $g$-不变、遍历的测度 $\nu$，该测度通过变分原理唯一最大化拓扑熵。
• 对于源自阿诺索夫微分同胚，条件 (H1) 成立，因为周期类要么位于吸引子的吸引盆中（熵为零），要么在迭代下均匀收缩（熵为零）。
• 条件 (H2) 成立，因为在周期点 $p$ 的中心稳定流形中的周期类要么是平凡的，要么吸引至周期轨道，从而确保每个类中存在周期点。
• 条件 (H3) 成立，因为平凡类集合在原始鲍温测度 $\mu$ 下具有全测度，且该测度在半共轭下保持不变。
• 恒高函数 $\tau \equiv 1$ 的源自阿诺索夫微分同胚的悬垂流存在唯一使熵最大的测度，即 $g$ 的鲍温测度与区间上勒贝格测度的乘积。
• 悬垂流 $\Psi$ 的唯一熵最大测度为 $\mu_g \times \text{Leb}$，其熵等于 $h_{\text{top}}(g)$，通过变分原理与阿布拉莫夫公式确认了唯一性。