[论文解读] BPS/CFT correspondence V: BPZ and KZ equations from qq-characters

Nikita Nekrasov|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 40被引用 21

一句话总结

本文从 ${\mathcal{N}}=2$ 引力子图规范理论中的 $qq$-字符框架出发，推导出李维耶场论中的贝拉文-波利akov-扎莫洛奇科夫（BPZ）方程以及 WZW 理论中的基尼兹赫尼克-扎莫洛奇科夫（KZ）型方程。通过将具有 $SU(2)^{r-3}$ 规范对称性的线性引物图嵌入一个带有新节点的扩展理论中，作者表明，其超对称路径积分满足 BPZ 方程；而具有 $2n$ 基本超多重态或伴随超多重态的 $SU(n)$ 理论，则分别在四极点球面和单极点环面上给出 KZ 方程的解。

ABSTRACT

We illustrate the use of the theory of $qq$-characters by deriving the BPZ and KZ-type equations for the partition functions of certain surface defects in quiver ${\mathcal N}=2$ theories. We generate a surface defect in the linear quiver theory by embedding it into a theory with additional node, with specific masses of the fundamental hypermultiplets. We prove that the supersymmetric partition function of this theory with $SU(2)^{r-3}$ gauge group verifies the celebrated Belavin-Polyakov-Zamolodchikov equation of two dimensional Liouville theory. We also study the $SU(N)$ theory with $2N$ fundamental hypermultiplets and the theory with adjoint hypermultiplet. We show that the regular orbifold defect in this theory solves the KZ-like equation of the WZW theory on a four punctured sphere and one-punctured torus, respectively. In the companion paper these equations will be mapped to the Knizhnik-Zamolodchikov equations

研究动机与目标

• 建立四维 ${\mathcal{N}}=2$ 引力子图规范理论中超对称路径积分与二维共形场论（CFT）关联函数之间的对应关系。
• 证明 $SU(2)^{r-3}$ 引力子图理论中的表面缺陷通过 $qq$-字符满足二维李维耶场论中的贝拉文-波利akov-扎莫洛奇科夫（BPZ）方程。
• 表明具有 $2n$ 个基本超多重态或伴随超多重态的 $SU(n)$ 引力子图理论，分别在带极点的黎曼面上实现基尼兹赫尼克-扎莫洛奇科夫（KZ）型方程的解。
• 通过 $qq$-字符形式化方法与 $\Omega$-背景中的等变局部化，提供共形场论方程的场论推导。

提出的方法

• 作者利用 $qq$-字符（定义为向量多重态中伴随标量的正则化特征多项式）构造规范理论中的复合算符。
• 通过等变局部化计算超对称路径积分，利用 $\Omega$-形变参数 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 将其分解为树图、一环和 instanton 贡献。
• 瞬子路径积分表示为 $r \times N$ 个杨图集合的求和，权重中包含 $\mathfrak{q}_i$ 与 $\mathcal{M}_{\mathbf{\Lambda}}$ 项，编码瞬子贡献。
• 通过将原始引物图嵌入一个带有附加节点的新理论，并调节基本超多重态的质量，作者生成实现所需共形场论方程的表面缺陷。
• 推导过程涉及对 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 取特定极限，从 $qq$-字符关系中恢复出 BPZ 与 KZ 方程。
• 作者使用 Barnes 双伽马函数 $\Gamma_2$ 与 $\mathbb{B}_\omega$ 的玻色表示，分析 $\varepsilon_1 \to 0$ 与 $p \to \infty$ 极限下的路径积分，将其与 theta 函数及 KZ 型结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从四维 ${\mathcal{N}}=2$ 引力子图规范理论的超对称路径积分中推导出二维李维耶场论的 BPZ 方程？
• RQ2 $qq$-字符在从规范理论可观测量生成共形场论关联函数中起到什么作用？
• RQ3 具有 $2n$ 个基本超多重态或伴随超多重态的 $SU(n)$ 引力子图理论中的表面缺陷，如何在带极点的黎曼面上实现 KZ 方程的解？
• RQ4 在什么精确极限下，$qq$-字符形式化能恢复出 WZW 理论中的基尼兹赫尼克-扎莫洛奇科夫方程？
• RQ5 将线性引物图嵌入一个带有新节点的更大理论，如何导致路径积分中出现共形场论方程？

主要发现

• 通过附加节点生成表面缺陷的 $SU(2)^{r-3}$ 引力子图理论的超对称路径积分，满足二维李维耶场论中的 BPZ 方程。
• 对于具有 $2n$ 个基本超多重态的 $SU(n)$ 理论，其路径积分在四极点球面上满足 KZ 型方程。
• 在具有伴随超多重态的 $SU(n)$ 理论中，其路径积分在单极点环面上实现 KZ 方程。
• 该推导依赖于 $qq$-字符形式化与极限 $\varepsilon_1 \to 0$，此时路径积分退化为 theta 函数的乘积，其结构与 KZ 方程一致。
• 在极限 $\varepsilon_3 \to -\varepsilon_1$ 下，$qq$-字符关系简化为与含对数修正的 KZ 方程匹配的形式，证实了 WZW 理论结构的出现。
• 当 $p \to \infty$ 时，$\mathbb{B}_\omega$ 算符的极限产生对 $l$ 的乘积：$\left(1 - z_\omega / z_{\omega-l}\right)^{-1 - \varepsilon_1 / \varepsilon_3}$，该形式在 $\varepsilon_1 \to 0$ 极限下与 KZ 方程的 theta 函数形式完全匹配。