[论文解读] BPS invariants of semi-stable sheaves on rational surfaces

Jan Manschot|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文提出了一种系统方法，用于计算在有理曲面（特别是Hirzebruch曲面$\Sigma_\ell$和$\mathbb{P}^2$）上秩≤3的半稳定层的BPS不变量——精化超对称指标。通过引入扩展的Harder-Narasimhan过滤和广义的爆破公式，处理了标准不变量消失或$\gcd(c_1\cdot H, r) = 1$条件不成立的情形，得到了显式的乘积公式形式的生成函数，并在$\gcd(r,c_1)=1$条件下验证了与已知结果的一致性。

ABSTRACT

BPS invariants are computed, capturing topological invariants of moduli spaces of semi-stable sheaves on rational surfaces. For a suitable stability condition, it is proposed that the generating function of BPS invariants of a Hirzebruch surface takes the form of a product formula. BPS invariants for other stability conditions and other rational surfaces are obtained using Harder-Narasimhan filtrations and the blow-up formula. Explicit expressions are given for rank <4 sheaves on a Hirzebruch surface or the projective plane. The applied techniques can be applied iteratively to compute invariants for higher rank.

研究动机与目标

• 计算Hirzebruch曲面$\Sigma_\ell$和$\mathbb{P}^2$上秩≤3的半稳定层的BPS不变量，尤其在稳定性条件导致标准不变量消失的情形下。
• 将BPS不变量生成函数的适用范围扩展至超出原始爆破公式中$\gcd(c_1\cdot H, r) = 1$的限制。
• 通过扩展的Harder-Narasimhan过滤开发一种递归方法，以计算跨边际稳定性壁的不变量。
• 提供模空间的虚拟Poincaré函数和贝蒂数的显式表达式，并在$\gcd(r,c_1)=1$条件下与已知结果进行验证。

提出的方法

• 引入非严格稳定性排序$p_J(E_i,n) \succeq p_J(E_{i+1},n)$的扩展HN过滤，实现系统化的壁穿计算。
• 提出公式(4.2)作为在$\Sigma_\ell$上、纤维$f$上具有半稳定限制的层的虚拟Poincaré函数的生成函数，通过公式(4.9)推广至虚拟Hodge函数。
• 通过减去对应于扩展HN过滤的生成函数（公式(5.8)）实现壁穿，类似于曲线上的向量丛处理技术。
• 利用广义爆破公式将$\tilde{\mathbb{P}}^2$上的不变量与$\mathbb{P}^2$上的不变量关联，扩展了$\gcd(c_1\cdot H, r)=1$限制的范围。
• 通过不变量(5.8)将$\mu$-稳定不变量转换为Gieseker不变量，实现对更高秩BPS不变量的递归计算。
• 使用模形式和theta函数（例如$h_{r,0}(z,\tau)$）表达生成函数，最终通过减去$\frac{1}{3}h_{1,0}(3z,3\tau)$提取贝蒂数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$\gcd(c_1\cdot H, r) \neq 1$导致标准爆破公式失效时，如何计算有理曲面上半稳定层的BPS不变量？
• RQ2 扩展的Harder-Narasimhan过滤在跨边际稳定性壁计算BPS不变量中起什么作用？
• RQ3 通过爆破公式，$\Sigma_\ell$上的BPS不变量生成函数与$\mathbb{P}^2$上的生成函数有何关联？
• RQ4 当$\gcd(r,c_1) > 1$时，模空间计算出的贝蒂数在多大程度上与通过Toric局部化得到的欧拉数一致？
• RQ5 该方法能否推广至秩大于3的层的BPS不变量计算？

主要发现

• 对于具有合适极化、秩$r \geq 1$的$\Sigma_\ell$，BPS不变量的生成函数由乘积公式（公式(4.2)）给出，即使满足$c_1 \cdot f \not\equiv 0 \mod r$也成立。
• 当$r=3$，$c_1=0$，且$3 \leq c_2 \leq 6$时，$\mathbb{P}^2$上模空间的贝蒂数$b_n$被显式计算并列于表1中，对应$c_2 = 3,4,5,6$时的$\chi = 18, 216, 1512, 8109$。
• 所有$c_2 \geq 3$时，第一个非零贝蒂数$b_0 = 1$，且当$c_2=3$时$b_2 = 1$，并随$c_2$增加而增加，与预期复维数$\dim_{\mathbb{C}}\mathcal{M} = 2c_2 - 3$一致。
• 该方法在$\gcd(r,c_1)=1$条件下正确重现了已知结果，与参考文献[26, 28, 32, 22]中$\mu$-稳定区域的结果一致。
• 当$\gcd(r,c_1) > 1$时，计算出的BPS不变量与$\mu$-稳定区域的欧拉数不同，表明在半稳定情形下BPS不变量与欧拉示性数之间存在非平凡差异。
• 基于扩展HN过滤和壁穿的递归过程可实现对更高秩BPS不变量的迭代计算，推广了秩3情形的结果。