[论文解读] The double Gromov-Witten invariants of Hirzebruch surfaces are piecewise polynomial

Federico Ardila, Erwan Brugallé|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 11

一句话总结

本文为Hirzebruch曲面引入了双Gromov-Witten不变量，并证明其在编码曲线相交轮廓的变量下为分段多项式函数。通过楼层图与Ehrhart理论，作者建立每个多项式部分的次数为 $ n_2 + 3g + 2a - 2 $，且每个部分为偶函数或奇函数，将双Hurwitz数的分段多项式性推广至更高维的辛几何与代数几何设定。

ABSTRACT

We define the double Gromov-Witten invariants of Hirzebruch surfaces in analogy with double Hurwitz numbers, and we prove that they satisfy a piecewise polynomiality property analogous to their 1-dimensional counterpart. Furthermore we show that each polynomial piece is either even or odd, and we compute its degree. Our methods combine floor diagrams and Ehrhart theory.

研究动机与目标

• 为Hirzebruch曲面定义双Gromov-Witten不变量，作为双Hurwitz数的高维类比。
• 为这些不变量建立类似于双Hurwitz数的分段多项式性质。
• 确定在墙分解中每个多项式部分的次数与奇偶性（偶或奇）。
• 探讨通过此结构是否存在2维版的ELSV公式。

提出的方法

• 不变量以函数 $ F_{a,k,g}^{n_1,n_2}({f x},{f y}) $ 编码，定义在格子 $ \Lambda \subset \mathbb{R}^{n_1} \times \mathbb{R}^{n_2} $ 上，满足线性约束 $ \sum x_i + \sum y_j + ak = 0 $。
• 墙结构由超平面排列定义：对子集 $ S \subseteq [n_1], T \subseteq [n_2], 0 \leq r \leq a $，有 $ \sum_{i \in S} x_i + \sum_{j \in T} y_j + k r = 0 $，以及等式 $ y_i = y_j $（当 $ i < j $ 时）。
• 楼层图用于建模全纯曲线，其重数通过顶点与边配置的加权和计算。
• 应用Ehrhart理论分析与这些图相关联的多面体中的整数点数量，将其与多项式不变量联系起来。
• 每个多项式部分的次数由图的组合数据推导，特别是灰顶点数量与边权重。
• 每个多项式部分的奇偶性由亏格 $ g $ 与楼层图权重分布结构决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hirzebruch曲面上的双Gromov-Witten不变量是否在相交轮廓变量下为分段多项式？
• RQ2 这些不变量在墙分解中每个多项式部分的次数为何？
• RQ3 每个多项式部分是否为偶函数或奇函数，其奇偶性如何依赖于亏格与配置结构？
• RQ4 相邻墙之间的穿墙行为是否可描述，类似于双Hurwitz数的情形？
• RQ5 本文所用方法能否推广至其他toric曲面，或推广至如tropical Welschinger不变量等精化不变量？

主要发现

• 双Gromov-Witten不变量 $ F_{a,k,g}^{n_1,n_2}({f x},{f y}) $ 关于由超平面排列 $ \sum_{i \in S} x_i + \sum_{j \in T} y_j + k r = 0 $ 与 $ y_i = y_j $（当 $ i < j $ 时）定义的墙结构为分段多项式。
• 每个多项式部分的次数为 $ n_2 + 3g + 2a - 2 $，其依赖于 $ y $-变量数量、亏格 $ g $ 与双次数 $ a $。
• 每个多项式部分为偶函数或奇函数，其奇偶性与亏格 $ g $ 一致，如权重分布函数 $ \Gamma_g(w) $ 的行为所示。
• 当 $ g = 0 $ 时，权重分布函数为 $ \Gamma_0(w) = w^2 $；当 $ g = 1 $ 时，为 $ \Gamma_1(w) = \frac{(w-1)w(w+1)(w^2+1)}{30} $，两者均为次数为 $ 3g + 2 $ 的多项式，且奇偶性与 $ g $ 一致。
• 不变量在每组变量 $ x_i $ 与 $ y_j $ 内部重标记下保持不变，且在满足给定线性约束的格子 $ \Lambda $ 上定义良好。
• 该结构提示可能存在一个2维版的ELSV型公式，且不变量随参数 $ k $ 的变化为多项式，如小规模情形下的显式表格所示。