[论文解读] BPZ equations for higher degenerate fields and nonperturbative Dyson-Schwinger equations

Saebyeok Jeong, Xinyu Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文建立了二维Liouville场论中涉及高阶退化场的BPZ方程与四维$υ=2$超共形quiver规范理论中非微扰Dyson-Schwinger方程之间的直接对应关系。通过在Liouville场论中利用零宇称算符解耦与在规范理论中利用瞬子约束，分别推导出三阶微分方程，从而在非微扰层次上确认了BPS/CFT对应关系，将瞬子划分函数与Liouville共形块相联系。

ABSTRACT

In the two-dimensional Liouville conformal field theory, correlation functions involving a degenerate field satisfy partial differential equations due to the decoupling of the null descendant field. On the other hand, the instanton partition function of a four-dimensional $\mathcal{N}=2$ supersymmetric theory in the $Ω$-background at a special point of the parameter space also satisfies a partial differential equation resulting from the constraints of the gauge field configurations. This partial differential equation can be proved using the nonperturbative Dyson-Schwinger equations. We show for the next-to-simplest case that the partial differential equations obtained from two different perspectives can be identified, thereby confirming an assertion of the BPS/CFT correspondence.

研究动机与目标

• 建立二维Liouville场论中相关函数与四维$υ=2$超共形quiver规范理论中划分函数之间的非微扰联系。
• 通过将Liouville理论中退化场导出的微分方程与规范理论中非微扰Dyson-Schwinger方程导出的微分方程相匹配，验证BPS/CFT对应关系。
• 分析下一阶最简退化场（三级零宇称算符）及其关联的三阶BPZ方程。
• 利用非微扰Dyson-Schwinger方程推导瞬子划分函数的微分方程，并与Liouville侧结果进行匹配。
• 通过在两侧识别出相同的三阶微分结构，确认AGT对应关系在Nekrasov-Shatashvili极限之外依然成立。

提出的方法

• 利用Alday-Gaiotto-Tachikawa（AGT）对应关系，将Liouville相关函数与$υ=2$规范理论中的瞬子划分函数联系起来。
• 应用非微扰Dyson-Schwinger方程（NPDS），在规范场构型约束下推导瞬子划分函数的微分方程。
• 通过零宇称 descendant 解耦，推导出涉及三级退化场的Liouville相关函数的三阶BPZ方程。
• 将两侧（Liouville理论与规范理论）的微分方程识别为等价，从而确认结构一致性。
• 利用广义超几何函数与Pochhammer符号表达解，并验证微分方程的结构。
• 从NPDS方程中提取瞬子划分函数的$U(1)$因子，显示其对$α$-参数与$z$-变量的依赖关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将涉及下一阶最简退化场的Liouville相关函数所满足的三阶微分方程，与规范理论中由非微扰Dyson-Schwinger方程导出的微分方程相匹配？
• RQ2 非微扰Dyson-Schwinger方法是否能导出与Liouville理论中BPZ方程结构一致的瞬子划分函数微分方程？
• RQ3 瞬子划分函数的$U(1)$因子如何从NPDS方程中导出？其在$α$-参数与$z$-变量下的结构为何？
• RQ4 AGT对应关系在Nekrasov-Shatashvili极限之外在多大程度上成立，特别是在微分方程的层面上？
• RQ5 能否通过NPDS框架从瞬子划分函数中完全恢复Liouville理论中的共形块结构？

主要发现

• 从包含三级退化场的Liouville相关函数导出的三阶微分方程，与在规范理论侧通过非微扰Dyson-Schwinger方程导出的微分方程完全一致。
• 瞬子划分函数满足的微分方程在结构上与BPZ方程完全相同，从而在非微扰层次上确认了BPS/CFT对应关系。
• 瞬子划分函数的$U(1)$因子被推导为$Z^{\mathrm{instanton}}=\prod_{0\leq i<j\leq r}\left(1-\frac{z_{j}}{z_{i}}\right)^{-\frac{(\bar{a}_{i}-\bar{a}_{i+1})(\bar{a}_{j}-\bar{a}_{j+1}+\varepsilon)}{\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}}}$，明确显示出对$α$-差值与$z$-比值的依赖。
• 在$t = -z_j^{-1}$处的留数计算，得到了$\langle k_j - k_{j+1} \rangle$的一致表达式，将瞬子划分函数的对数导数与$α$-参数及$z$-变量联系起来。
• 广义超几何函数${}_3F_2$作为所导微分方程的解出现，确认了共形块的解析结构。
• 两侧微分方程的匹配为AGT对应关系在微扰论之外的适用性提供了强有力证据，尤其在非微扰的$υ=2$规范理论背景下。