[论文解读] Liouville Quantum Gravity and Polyakov's formulation of $2d$ string theory in genus $g\geq 2$

Colin Guillarmou, Rémi Rhodes+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用 8

一句话总结

本文通过高斯乘法混沌方法，定义了在亏格 $g \geq 2$ 曲面上的黎曼量子场论（LQFT）的划分函数，建立了中心电荷 $c \geq 25$ 的共形场论。通过在模空间上积分，构建了黎曼量子重力（LQG）的划分函数，证明了当 $c > 25$ 时的可积性，以及在亏格 $g = 2$ 时 $c = 25$ 的收敛性，从而为黎曼在双曲曲面上的 $2d$ 引力理论提供了数学基础。

ABSTRACT

We define the partition function of Liouville quantum field theory (LQFT) on surfaces of genus ${\bf g}\geq 2$ by using the theory of Gaussian multiplicative chaos. Such a construction produces a conformal field theory with central charge ${\bf c}\geq 25$, which depends on the conformal class of the background metric put on the surface. This construction is used to define the Liouville quantum gravity (LQG) partition function by coupling LQFT with a matter field theory and by integrating over the space of conformal structures, i.e moduli space. We analyze the behaviour of the LQFT partition function at the boundary of the compactification of moduli space and we show integrability of the LQG partition function over moduli space when ${\bf c}>25$. For ${\bf c}=25$ (the critical value of the theory), the analysis becomes particularly interesting as it gives a mathematical sense to Polyakov's partition function for (bosonic) $2d$ string theory on hyperbolic surfaces. In this case, we prove convergence of the integral over moduli space for genus ${\bf g}=2$

研究动机与目标

• 通过高斯乘法混沌的框架，严格定义在亏格 $g \geq 2$ 黎曼曲面上的黎曼量子场论（LQFT）划分函数。
• 通过将 LQFT 与物质理论耦合，并在黎曼曲面的模空间上积分，构建黎曼量子重力（LQG）的划分函数。
• 分析 LQFT 划分函数在紧化模空间边界处的行为。
• 建立 LQG 划分函数在模空间上的可积性，其中中心电荷 $c > 25$，并针对亏格 $g = 2$ 的临界值 $c = 25$ 证明其收敛性。
• 为黎曼在双曲曲面上的 $2d$ 引力理论中，Polyakov 的划分函数在 $c = 25$ 时提供严格的数学解释。

提出的方法

• 通过在亏格 $g \geq 2$ 的曲面上使用高斯乘法混沌构造 LQFT 划分函数，得到一个中心电荷 $c \geq 25$ 的共形场论。
• 该构造依赖于背景度量的共形类，确保了所得到理论的共形不变性。
• 通过将 LQFT 与物质场论耦合并积分于亏格 $g \geq 2$ 的黎曼曲面模空间，获得 LQG 划分函数。
• 利用模空间的紧化技术分析 LQFT 划分函数在边界处的行为。
• 通过分析模空间边界附近 LQFT 划分函数的增长行为，建立 LQG 划分函数在 $c > 25$ 时的可积性。
• 对于 $c = 25$ 的情形，通过退化极限的精细分析，特别针对亏格 $g = 2$ 证明了模空间上积分的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用随机方法在亏格 $g \geq 2$ 的黎曼曲面上严格定义黎曼量子场论的划分函数？
• RQ2 在亏格 $g \geq 2$ 曲面的紧化模空间边界附近，LQFT 划分函数的行为如何？
• RQ3 LQG 划分函数在模空间上可积的中心电荷 $c$ 取值范围为何？
• RQ4 在临界中心电荷 $c = 25$ 时，LQG 划分函数在亏格 $g = 2$ 时是否收敛？
• RQ5 能否通过此构造在 $c = 25$ 时为 Polyakov 的 $2d$ 引力理论提供数学基础？

主要发现

• 在亏格 $g \geq 2$ 的曲面上，LQFT 划分函数通过高斯乘法混沌被严格定义，得到一个中心电荷 $c \geq 25$ 的共形场论。
• LQG 划分函数通过将 LQFT 与物质理论耦合并积分于亏格 $g \geq 2$ 的黎曼曲面模空间而构建。
• LQFT 划分函数在紧化模空间边界处表现出受控增长，为后续可积性分析提供了可能。
• 当中心电荷 $c > 25$ 时，LQG 划分函数在模空间上可积，确保了该参数区域路径积分的收敛性。
• 在临界情形 $c = 25$ 时，模空间上的积分在亏格 $g = 2$ 时收敛，从而为黎曼在双曲曲面上的 $2d$ 引力理论提供了数学实现。
• 该构造为 $c = 25$ 时黎曼在 $2d$ 引力理论中的 Polyakov 划分函数提供了严格的数学解释。