[论文解读] BQP-complete Problems Concerning Mixing Properties of Classical Random Walks on Sparse Graphs

Dominik Janzing, Paweł Wocjan|ArXiv.org|Oct 27, 2006

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文提出了两个与稀疏对称图上经典随机游走混合性质相关的BQP-完全问题。研究表明，估计在多项式对数步长内顶点间路径数目的差异，以及确定连续时间游走中概率差异的衰减速率，均为量子计算难题——证明了量子计算机能够高效解决经典随机过程中细微混合行为相关的问题。

ABSTRACT

We describe two BQP-complete problems concerning properties of sparse graphs having a certain symmetry. The graphs are specified by efficiently computable functions which output the adjacent vertices for each vertex. Let i and j be two given vertices. The first problem consists in estimating the difference between the number of paths of length m from j to j and those which from i to j, where m is polylogarithmic in the number of vertices. The scale of the estimation accuracy is specified by some a priori known upper bound on the growth of these differences with increasing m. The problem remains BQP-hard for regular graphs with degree 4. The second problem is related to continuous-time classical random walks. The walk starts at some vertex j. The promise is that the difference of the probabilities of being at j and at i, respectively, decays with O(exp(-μt)) for some μ>0. The problem is to decide whether this difference is greater than a exp(-μT) or smaller than b exp(-μT) after some time instant T, where T is polylogarithmic and the difference a-b is inverse polylogarithmic in the number of vertices. Since the probabilities differ only by an exponentially small amount, an exponential number of trials would be necessary if one tried to answer this question by running the walk itself. A modification of this problem, asking whether there exists a pair of nodes for which the probability difference is at least a exp(-μT), is QCMA-complete.

研究动机与目标

• 识别图论中自然且组合意义明确的BQP-完全问题，避免对量子动力学的简单重述。
• 确立在稀疏图中估计两个顶点间长度为m的路径数目差异的问题为BQP-完全。
• 证明在正则稀疏图上，确定连续时间经典随机游走中概率差异衰减速率的问题同样是BQP-完全。
• 展示混合问题的一个变体——即是否存在任意对称节点对表现出缓慢衰减——为QCMA-完全，凸显复杂度类之间的差异。

提出的方法

• 使用量子相位估计算法作为子程序，以估计稀疏邻接矩阵的谱矩，从而实现对路径和概率差异的高效计算。
• 构建一个量子算法，用于估计稀疏矩阵A的m次幂的第j个对角线元素，该元素对应于从j到j的长度为m的路径计数。
• 通过将邻接矩阵编码为具有±1、0元素的量子可观测量，将路径差异估计问题约化为谱矩估计任务。
• 通过矩阵指数e^{-tA}对连续时间随机游走进行建模，其中A为图拉普拉斯矩阵，并利用相位估计算法估计对称节点间概率差异的衰减。
• 采用基于证明者（witness-based）的构造方法，将QCMA-完全性问题约化为具有由图自同构诱导的节点对的图，其中接受条件对应于概率差异的缓慢衰减。
• 重新排列图的节点，将量子寄存器态映射为节点对(2j, 2j+1)，从而在叠加态上使用相位估计算法检测缓慢衰减的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明关于稀疏图上经典随机游走混合性质的问题为BQP-完全？
• RQ2 在稀疏图中估计两个顶点间m步路径数目的差异是否为BQP-完全问题？
• RQ3 量子计算机能否高效判断连续时间随机游走中两个对称节点间概率差异的衰减速率？
• RQ4 在给定时间T内，判断是否存在任意对称节点对的概率差异高于某一阈值的问题的复杂度是什么？
• RQ5 BQP与QCMA复杂度类在涉及稀疏图谱性质的问题中如何关联？

主要发现

• 在稀疏图中估计从顶点i到j与从j到j的m步路径数目的差异问题为BQP-完全，即使在4-正则图中也成立。
• 连续时间混合问题——即判断两个对称节点间概率差异的衰减速率是否慢于给定指数边界——为BQP-完全。
• 当时间T以及衰减参数a、b为顶点数的多项式对数时，该问题仍为BQP-完全，且a−b为多项式对数的倒数。
• 混合问题的一个变体——即是否存在任意对称节点对的概率差异高于某一阈值——为QCMA-完全。
• 结果表明，量子计算机能够高效解决涉及指数级小概率差异的问题，而经典方法需指数次试验才能解决。
• 该构造依赖于具有高效可计算邻接函数的稀疏矩阵的谱分解与相位估计，建立了经典随机过程与量子计算复杂度之间的桥梁。