[论文解读] Braid actions on quantum toroidal superalgebras

Luan Bezerra, E. Mukhin|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文证明了与 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 型不同根系 $\mathbf{s}$ 关联的量子环面超代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 是同构的，并构造了一个交换竖直与水平子代数的 Miki 自同构。通过在直和 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上作用环面辫群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$，作者证明了同构不变性，并通过辫群元素上的傅里叶变换推导出 Miki 自同构。

ABSTRACT

We prove that the quantum toroidal algebras $\mathcal{E}_\mathbf{s}$ associated with different root systems $\mathbf{s}$ of $\mathfrak{gl}_{m|n}$ type are isomorphic. We also show the existence of Miki automorphism of $\mathcal{E}_\mathbf{s}$, which exchanges the vertical and horizontal subalgebras. To obtain these results, we establish an action of the toroidal braid group on the direct sum $\oplus_\mathbf{s} \mathcal{E}_\mathbf{s}$ of all such algebras.

研究动机与目标

• 证明不同根系奇偶性 $\mathbf{s}$ 的 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 型量子环面代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 是同构的。
• 在 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上构造一个交换竖直与水平子代数的 Miki 自同构。
• 在直和 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上建立环面辫群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ 的作用，以统一不同根系选择下的代数结构。
• 将已知的辫群作用与 Miki 自同构结果从偶数情形推广到 $m \neq n$ 且 $m+n > 3$ 的超代数情形。

提出的方法

• 将 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 定义为在奇偶性 $\mathbf{s}$ 下由竖直子代数 $U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ 与水平子代数 $U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ 生成的代数，其中参数 $q_1,q_2,q_3$ 满足 $q_1q_2q_3=1$ 且 $q^2=q_2$。
• 通过生成元 $\widehat{T}_i$、$\widehat{\mathcal{Y}}_j$ 和 $\widehat{\tau}$ 构造环面辫群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ 在 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上的作用，其中 $\widehat{\tau}$ 实现对奇偶性序列 $\mathbf{s}$ 的循环。
• 通过当前实现与 Chevalley 实现的辫群作用定义 $\widehat{T}_1$，确保在交集 $U_q\mathfrak{sl}_{\mathbf{s}}$ 上的相容性。
• 利用 [Y] 中在 $\oplus_{\mathbf{s}} U_q\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ 上的扩展仿射辫群作用，将良定性检查简化为在竖直子代数中的计算。
• 将 Miki 自同构 $\psi$ 定义为环面辫群的傅里叶变换 $\Phi$ 的共轭，将 $\widehat{\mathcal{Y}}_i$ 映射到 Knizhnik-Zamolodchikov 元素。
• 利用性质 $\Phi^2(\widehat{\mathcal{Y}}_i) \in \langle \widehat{\mathcal{Y}}_i \rangle$ 验证 $\psi$ 交换了 $U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ 与 $U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同根系奇偶性 $\mathbf{s}$ 的 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 型量子环面超代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 是否同构？
• RQ2 能否在超代数情形下构造一个交换竖直与水平子代数的 Miki 自同构？
• RQ3 环面辫群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ 是否能在直和 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上作用，从而实现这些同构？
• RQ4 当生成元 $\widehat{T}_i$ 并不完全显式时，如何在 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上显式定义辫群作用？
• RQ5 环面辫群的傅里叶变换 $\Phi$ 在构造 Miki 自同构中起什么作用？

主要发现

• 所有 $\mathfrak{gl}_{m|n}$ 型根系奇偶性 $\mathbf{s}$ 的量子环面代数 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 都是同构的，如推论 5.2 所示。
• 在 $\mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上存在一个 Miki 自同构 $\psi$，满足 $\psi(U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}) = U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$ 且 $\psi(U_q^{hor}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}) = U_q^{ver}\widehat{\mathfrak{sl}}_{\mathbf{s}}$，如定理 5.9 所示。
• 环面辫群 $\widehat{\mathcal{B}}_{m+n}$ 通过生成元 $\widehat{T}_i$、$\widehat{\mathcal{Y}}_j$ 和 $\widehat{\tau}$ 作用在 $\oplus_{\mathbf{s}} \mathcal{E}_{\mathbf{s}}$ 上，其中 $\widehat{T}_1$ 通过当前实现与 Chevalley 实现的辫群作用的相容性来定义。
• Miki 自同构 $\psi$ 被实现为辫群傅里叶变换 $\Phi$ 的共轭，满足 $\psi(b g) = \Phi(b) g$，其中 $b \in A$ 且 $g \in U_q\mathfrak{sl}_{\mathbf{s}}$，如命题 5.11 所述。
• 通过辫群作用构造了评估同态 $\operatorname{ev}_u^\mathbf{s}: \mathcal{E}_{\mathbf{s}} \to \widetilde{U}_q\widehat{\mathfrak{gl}}_{\mathbf{s}}$，其中 $C^2 = q_3^{m-n}$，且与标准奇偶性下的已有构造一致。
• 在 $\operatorname{ev}_u^\mathbf{s}$ 下像的分次由 $\deg^{v}(\operatorname{ev}_u^\mathbf{s}(X)) = (d_1 - d_0, \dots, d_{N-1} - d_0; d_\delta)$ 给出，其中 $X$ 的分次为 $(d_0, \dots, d_{N-1}, d_\delta)$。